Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением трех векторов ,
,
называется число, равное скалярному произведению вектора
на векторное произведение векторов
и
, т.е.
.
Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая теорема.
Теорема. Смешанное произведение равно объему
параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах
,
,
, взятому со знаком «плюс», если тройка векторов
,
,
правая, и со знаком «минус», если тройка векторов
,
,
левая. Если же векторы
,
,
компланарны, то
.
В краткой записи:
![]() |

Доказательство видно из рисунка.
Свойства смешанного произведения
1. .
2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:
3.
векторы
компланарны.
4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,
.
Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей
Теорема. Если векторы заданы своими координатами:
,
,
, то смешанное произведение
равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.
. (1.6)
Пример 12.Компланарны ли векторы
Решение. Вычислим смешанное произведение векторов по формуле (1.6) , следовательно, векторы
- компланарны.
Пример 13.Образуют ли векторы базис в пространстве
Проверим, компланарны ли векторы . Для этого вычислим их смешанное произведение
следовательно, векторы
некомпланарны, а значит, образуют базис в пространстве
Пример 14.Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и
Вычислить
Решение.
Пример 15.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
Решение.
Пример 16.Найти объем тетраэдра с вершинами в точках
Решение. Найдем координаты векторов
Вычислим объем параллелепипеда, построенного на векторах
Пример 17.Лежат ли точкив одной плоскости?
Решение. Найдем координаты векторов
Проверим, компланарны ли векторы
, для этого вычислим их смешанное произведение:
следовательно, векторы
некомпланарны, а, значит, точки
не лежат в одной плоскости.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Общее уравнение прямой.
Уравнение вида в котором
называется общим уравнением прямой на плоскости.
2.2 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно
.
Рис. 3
Через точку перпендикулярно вектору
можно провести единственную прямую
. Пусть
произвольная точка прямой
. Тогда точка
Условие перпендикулярности двух векторов состоит в том, что
Вектор
, следовательно,
(2.1)
Уравнение (2.1) называется уравнением прямой по точке и нормальному вектору .
Пример 18.Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали
Решение. Воспользуемся уравнением (2.1). В нашей задаче
Имеем
. Раскрывая скобки и приводя подобные члены получаем общее уравнение прямой
Пример 19.Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой
.
Решение. Требуется написать уравнение прямой, параллельной прямой . Нормальный вектор к этой прямой
является вектором нормали и к искомой прямой. Поэтому следует воспользоваться уравнением (2.1). Получаем
. После преобразования имеем общее уравнение прямой