Основные методы интегрирования. 1) Непосредственное интегрирование;
1) Непосредственное интегрирование;
2) Метод подстановки;
3) Метод интегрирования по частям.
1) Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов называется непосредственным интегрированием.
2) Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, т. е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. В его основе лежит следующая теорема.
Теорема:Пусть функция x=j(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть X - множество значений этой функции, на котором определена функция f(x), т. е. на Т определена сложная функция f(j(t)). Тогда если на множестве X функция f(x) имеет первообразную F(x), то справедлива формула (формула замены переменной в неопределённом интеграле):
Тождественное преобразование подынтегрального выражения с выделением дифференциала новой переменной интегрирования – простейшая замена переменной или метод внесения под знак дифференциала. Таким образом, устанавливается и общая формула
3) Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.
Теорема:Пусть функции u(х) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция u'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует òv(x)u'(x)dx. Тогда на промежутке X функция u(x)v'(x) также имеет первообразную и справедлива формула:
Интегрирование сложнее дифференцирования. Дифференцирование не выводит из класса элементарных функций в отличие от интегрирования.
Таблица неопределённых интегралов некоторых функций.
1.) 
| 2.) 
|
3.) 
| 4.) 
|
5.) 
| 6.) 
|
7.) 
| 8.) 
|
9.) 
| 10.) 
|
11.) 
| 12.) 
|
13.) 
| 14.) 
|
15.) 
| 16.) 
|
17.) 
| 18.) 
|
19.) 
| 20.) 
|
21.) 
| 22.) 
|
23.) 
| 24.) 
|
25.) 
| 26.) 
|
27.) 
| 28.) 
|
Основные свойства неопределённого интеграла.
| Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. |
| Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению. |
| Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной. |
| Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, если k=const¹0. |
| Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций отдельно. |
Связь между дифференцированием и интегрированием: