Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х
Теорема 1. Область сходимости степенного ряда есть некоторый промежуток (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногда в него надо включить оба конца, иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.
Промежуток (-R, R)называется промежутком сходимости, положительное число R — радиусом сходимости степенного ряда. Внутри этого промежутка ряд сходится, вне его расходится. Необходимо, также, исследовать сходимость ряда на концах интервала.
Если степенной ряд сходится только в точке х=0, то R=0. Если ряд сходится во всех точках, то говорят, что радиус сходимости равен бесконечности (R=¥).
Теорема 2. Радиус сходимости R степенного ряда равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует:
§64 Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а
Теорема 1. Область сходимости степенного ряда, расположенногопо степеням х-а есть некоторый промежуток (а-R, а+R), симметричный относительно точки х=а. Иногда в него надо включить оба конца, иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.
Теорема 2. Радиус сходимости R степенного ряда, расположенногопо степеням х-а равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует:
.
Разложение функций в степенной ряд
Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х0 – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной функции всюду внутри промежутка сходимости.
Если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то разложение единственно.
Разложение простейших функций по степеням х:
· показательные (2);
· тригонометрические (4);
· гиперболические (4);
· логарифмические (2);
· биномиальные ряды (6);
· обратные тригонометрические (4);
· обратные гиперболические (4).
Ряд Тейлора
Лекция 16
Дифференциальные уравнения. Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:
F(х, у, у', у", ..., у(n)) = 0.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.
Функция у=j(х) называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки у=j(х).
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.