Электромагнитные волны. Волновое уравнение

 

Мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электро-магнитное поле, то в пространстве, окружающем заряды, возникнет последовательность взаимных превращений электрического и маг-нитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну.

 

Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из системы уравнений Максвелла (5.2.3, 5.2.9–5.2.12). Для упрощения ма-тематических преобразований рассмотрим электромагнитное поле в случае однородной незаряженной (объемная плотность заряда ρ = 0), непроводящей (плотность тока j = 0), не сегнетоэлектрической (ε = const) и неферромагнитной (μ = const) среды.

 

Система уравнений Максвелла для этого случая с учетом матери-альных уравнений ( D =εε 0 E , B =μμ0H ) будет иметь вид:

 

rotE = − dBdt

 

rotH = dD (6.1.1)

dt divdivHE ==00

 

Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в координат-ной форме:


 


                ∂E z   −   ∂Ey = −μμ0   dH x  
                                       
                    ∂z     dt    
    )     dH   ∂y                        
  d (μμ0 H       ∂E             ∂E             dH y  
rot E = −       ⇒ rotE = −μμ 0   ⇒     x   −     z = −μμ0            
  dt   dt             dt    
            ∂z         ∂x                
                ∂Ey   −   ∂E x = −μμ0 dH z  
                                       
              ∂x           dt    
                        ∂y                
                                                         
              ∂H z −   ∂H y =εε0 dE x      
                                         
              ∂y     ∂z     dt      
      )   dE                                
    d (εε0 E   ∂H             ∂H         dEy    
rot H =       ⇒ rotH = εε 0   ⇒   x −     z = εε0                  
dt     dt ∂z   ∂x   dt        
                                         
              ∂H y   − ∂H   x = εε0 dE z      
                                               
                ∂x         ∂y dt      
                                         
                                                         

divE = 0 ⇒ ∂∂Exx + ∂∂Eyy + ∂∂Ezz = 0 divH = 0 ⇒ ∂∂Hxx + ∂∂Hy y + ∂∂Hzz = 0.


 

 

(6.1.2)

 

(6.1.3)

 

(6.1.4)

 

 

(6.1.5)


 

Возьмем ротор от выражения (6.1.3) и изменим последователь-ность дифференцирования по координатам и времени:

 

                d          
rot ( rot E )= rot −μμ 0 dH ⇒ rot ( rot E )= −μμ0 ( rot H ). (6.1.6)  
   
      dt         dt        
Подставим выражение (6.1.6) в выражение (6.1.7):   2    
    d   dE           d    
rot ( rotE )= −μμ 0 εε 0 ⇒ rot ( rot E ) = −μμ 0 εε0 E2 . (6.1.7)  
  dt    
    dt           dt    
Так как выражение в правой части (6.1.7) представляет двойное  
векторное произведение , то                    
rot (rotE ) = ∇× ( ∇× E ) = ∇ ( ∇ E ) − ( ∇∇ ) E =     (6.1.8)  
  = ∇ ( ∇ E ) − E =∇(divE )− E.      
         
С учетом (6.1.4) получим:     E.              
      rot (rotE )= −           (6.1.9)  

 


Подставим (6.1.9) в (6.1.7) и получим:

            E =μμ εε     d 2 E .     (6.1.10)  
                dt2        
Аналогично можно получить для H :            
            H =μμ   εε   d 2 H .   (6.1.11)  
                dt2        
Выражения (6.1.10−6.1.11) представляют собой волновые уравне-  
ния для E и H : d 2 E                            
      − υ     d 2 H − υ   (6.1.12)  
      dt2   E =0и   dt2   H =0,  
                         
где υ =   − фазовая скорость электромагнитной волны.    
μμ 0 εε0