Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.
1. Найти ОДЗ функции .
2. Найти вторую производную функции .
3. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.
4. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
5. Найти значения функции в точках перегиба.
Пример.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .
Решение.
1. ОДЗ: .
2. (см. пример №3).
.
3. Т.е. при
и
.
![]() |
+ – +
1
4. на интервалах
и
, следовательно, на этих интервалах функция вогнута.
на интервале
. Следовательно, функция на нем выпукла.
5. и
есть точки перегиба.
Асимптоты графика функции
Определение. | Асимптотой графика функции ![]() ![]() |
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
1. Вертикальные.
Если при
, то
- вертикальная асимптота.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции .
2. Наклонные.
Прямая является наклонной асимптотой графика функции
, если существуют конечные пределы:
,
.
3. Горизонтальные.
Горизонтальные асимптоты – частный случай наклонных .
Пример.
Найти асимптоты кривой .
Решение.
Функция определена в интервалах , а
и
-точки разрыва. Так как
, то прямая
является вертикальной асимптотой кривой;
, т.е. прямая
не является вертикальной асимптотой. Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как
и
не являются конечными величинами. Определим, существуют ли наклонные асимптоты.
Находим:
;
.
Таким образом, существует правая наклонная асимптота .
Аналогично находятся:
;
.
Итак, существует наклонная асимптота .
Общая схема исследования функций и построения их графиков
1. Найти область определения функции и точки разрыва.
2. Исследовать функцию на четность ( ) – нечетность (
), периодичность (
).
3. Найти точки пересечения графика функции с осью и если это несложно – с осью
.
4. Найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
7. На основе проверенного анализа построить график функции.
Пример.
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
1. Область определения , т.е.
. Точка
– точка разрыва.
2. Четность, нечетность, периодичность:
.
Значит, функция не является ни четной, ни нечетной; и не является периодичной, т.к. нет такого Т, чтобы выполнилось равенство .
3. График функции проходит через начало координат.
4. Так как – точка разрыва, найдем предел функции при
:
Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой.
Проверим, имеет ли кривая наклонные асимптоты:
.
.
Т.о., прямая - наклонная асимптота.
Горизонтальных асимптот нет.
5. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем:
.
Производная обращается в ноль, если , т.е. при
; производная не существует при
.
Однако критическими точками являются только точки (так как значение
не входит в область определения функции).
Поскольку при , а при
, то
- точка максимума и
- максимум функции (
- точка разрыва, т. е. в ней функция не может иметь экстремума).
На интервале функция убывает, на интервалах
- возрастает.
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем:
.
Вторая производная обращается в ноль при х=0 и не существует при х=-1. Очевидно, что на интервале
и функция вогнута на этом интервале
на интервалах
,
и на этих интервалах функция выпукла. Точкой перегиба является
.
7. По данным исследований строим график:
![]() | ||||||||||||||||||||||||
-3 -1 0 2 | ![]() | |||||||||||||||||||||||
![]() | ||||||||||||||||||||||||
ІІІ. Интегральное исчисление