Основные методы интегрирования

Основными методами интегрирования являются непосредственное интегрирование при помощи основных свойств неопределенного и определенного интеграла и таблицы интегралов, метод подстановки (замены переменной) и интегрирование по частям.

 

Метод непосредственного интегрирования

Метод состоит в том, что с помощью алгебраических преобразований подынтегральная функция приводится к табличной или их сумме. Рассмотрим этот метод на примерах.

Примеры:

1. .

2.

.

3.

Метод подстановки

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла или интеграла, берущегося тем или иным известным приемом. Такой метод называется методом подстановки, а также методом замены переменной.

Рассмотрим функцию , где , тогда:

(3.1)

Формула (3.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

После нахождения интеграла надо вместо подставить его выражение через . В определенном интеграле возврат к переменной не обязателен, но в этом случае при замене переменной необходимо изменить пределы интегрирования, т. е. воспользоваться формулой:

.

Примеры.

1. .

Обозначим , тогда и, следовательно, .

.

2. .

3. .

4.

  Полагаем . Дифференцируя это соотношение, находим
, откуда . Находим теперь новые пределы интеграла. Для этого из соотношения определяем
  значения при и при . Итак, имеем

x
z
dx
dz
dx
dz
x
z
z
x
-
=
=
=
-
=
=
полагаем
 
.
 
Дифференци
руя
 
это
 
соотношени
е,
 
находим
 
,
 
откуда
 
.
 
Находим
теперь
 
новые
 
пределы
интеграла.
 
Для
 
этого
 
из
 
соотношени
я
 
 
определяем
 
значения
 
 
при
 

В приведенных выше примерах метод замены переменной быстро привел к цели. Однако удачный выбор новой переменной обычно представляет известные трудности. Для их успешного преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования, уметь «прикидывать», что даст та или иная подстановка, и твердо знать табличные интегралы.

Интегрирование по частям

Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке, тогда:

. (3.2)

Формулу (3.2) обычно записывают в виде:

. (3.2*)

Для определенного интеграла она такова:

.

Эти формулы называются формулами интегрирования по частям. Правильнее было бы назвать их формулами частичного интегрирования. При известных и они сводят нахождение интеграла от после частичного интегрирования к нахождению интеграла от . Иногда удается функции и выбрать так, что новый интеграл либо сам является табличным, либо сводится к табличным интегралам уже известными методами.

При этом следует учитывать, что за принимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, содержащая , интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, при вычислении интегралов вида , , за следует принять многочлен , а за - соответственно выражения - , , .

При вычислении интегралов вида , , за следует принять выражение , а за - соответственно функции , , .

Примеры.

1. . Полагаем . Тогда и, значит, по формуле (3.2*). .

2. .

 

3.

Формулу интегрирования по частям применили дважды.

4.

.

Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется дробь вида , где и - целые многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень ниже степени , в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то путем почленного деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов следует выделить целую часть и правильную дробь. Поэтому будем рассматривать интегрирование правильных дробей, поскольку интегрирование целой части не вызывает затруднений.