Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола
Коло – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки , яку називають центром кола;
– радіус кола.
Рівняння кола має вид (3.12). Якщо центр кола співпадає з початком координат, то рівняння кола має вид (3.13)
![]() | ![]() | (3.12) |
![]() | (3.13) | |
Рис. 3.5 |
Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок та
, що називаються фокусами, є величина стала
, причому ця величина більша за відстань між фокусами.
![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Рис. 3.6 |
Канонічне рівняння еліпса з фокусами на осі має вид
![]() | (3.14) |
Основна властивість еліпса полягає у співвідношенні
![]() | (3.15) |
Форма еліпса характеризується ексцентриситетом. Значення ексцентриситету оцінює «сплющеність» еліпса.
![]() | (3.16) |
Якщо , то при
маємо коло, при
,
– відрізок. Це випадки виродженого еліпса.
Відстань деякої точки еліпса до його фокусів називаються фокальними радіусами:
![]() ![]() | (3.17) |
![]() | (3.18) |
Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох заданих точок та
, що називаються фокусами, є величина стала
, причому ця величина менша за відстань між фокусами.
![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Рис. 3.7 |
Канонічне рівняння гіперболи з фокусами на осі має вид
![]() | (3.19) |
Основна властивість гіперболи полягає у співвідношенні
![]() | (3.20) |
Значення ексцентриситету гіперболи
![]() | (3.21) |
Відстань деякої точки гіперболи до його фокусів називаються фокальними радіусами:
![]() ![]() | (3.22) |
![]() | (3.23) |
Параболоюназивається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки , яка називається фокусом, і від заданої прямої
, яка називається директрисою.
![]() |
![]() ![]() |
Рис. 3.8 |
Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі має вид
![]() | (3.24) |
Якщо , то вітки параболи розташовані праворуч, а якщо
– ліворуч.
Парабола симетрична відносно осі
: якщо
, то вітки даної параболи розташовані догори, а якщо
– донизу.
Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія на площині”
Завдання І.Задані координати вершин трикутника АВС. Знайти:
1) рівняння сторони АВ, записати його у вигляді рівняння у відрізках;
2) рівняння прямої BK, що проходить через точку В паралельно стороні АС;
3) рівняння висоти СD та її довжини;
4) кут між висотою CD та медіаною ВМ;
5) побудувати усі лінії.
Варіант 1 | A (6;2) | B (30;-5) | C (12;19) |
Варіант 2 | A (4;3) | B (-12;-9) | C (-5;15) |
Варіант 3 | A (-1;7) | B (11;2) | C (17;10) |
Варіант 4 | A (1;1) | B (-15;11) | C (-8;13) |
Варіант 5 | A (-14;10) | B (10;3) | C (-8;27) |
Варіант 6 | A (7;1) | B (-5;-4) | C (-9;-1) |
Варіант 7 | A (-2;1) | B (-18;-11) | C (-11;13) |
Варіант 8 | A (10;-1) | B (-2;-6) | C (-6;-3) |
Варіант 9 | A (-12;6) | B (12;-1) | C (-6;23) |
Варіант 10 | A (8;0) | B (-4;-5) | C (-8;-2) |
Варіант 11 | A (11;0) | B (-5;4) | C (-1;-1) |
Варіант 12 | A (10;2) | B (-6;6) | C (-2;1) |
Варіант 13 | A (14;0) | B (-2;4) | C (2;-1) |
Варіант 14 | A (13;2) | B (-3;6) | C (1;1) |
Варіант 15 | A (11;3) | B (-5;7) | C (-1;2) |
Варіант 16 | A (13;-1) | B (-3;3) | C (1;-2) |
Варіант 17 | A (11;-2) | B (-5;6) | C (-1;1) |
Варіант 18 | A (13;0) | B (-3;4) | C (1;-1) |
Варіант 19 | A (11;-1) | B (-5;3) | C (-1;-2) |
Варіант 20 | A (13;3) | B (-3;7) | C (1;2) |
Варіант 21 | A (6;2) | B (30;-5) | C (12;19) |
Варіант 22 | A (4;3) | B (-12;-9) | C (-5;15) |
Варіант 23 | A (-1;7) | B (11;2) | C (17;10) |
Варіант 24 | A (1;1) | B (-15;11) | C (-8;13) |
Варіант 25 | A (-14;10) | B (10;3) | C (-8;27) |
Варіант 26 | A (7;1) | B (-5;-4) | C (-9;-1) |
Варіант 27 | A (-2;1) | B (-18;-11) | C (-6;-3) |
Варіант 28 | A (10;-1) | B (-2;-6) | C (-6;23) |
Варіант 29 | A (-12;6) | B (12;-1) | C (-6;23) |
Варіант 30 | A (8;0) | B (-4;-5) | C (-8;-2) |
Завдання ІІ.Звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку, визначити її вид та знайти всі її параметри. Побудувати криву другого порядку.
Варіант 1 | ![]() |
Варіант 2 | ![]() |
Варіант 3 | ![]() |
Варіант 4 | ![]() |
Варіант 5 | ![]() |
Варіант 6 | ![]() |
Варіант 7 | ![]() |
Варіант 8 | ![]() |
Варіант 9 | ![]() |
Варіант 10 | ![]() |
Варіант 11 | ![]() |
Варіант 12 | ![]() |
Варіант 13 | ![]() |
Варіант 14 | ![]() |
Варіант 15 | ![]() |
Варіант 16 | ![]() |
Варіант 17 | ![]() |
Варіант 18 | ![]() |
Варіант 19 | ![]() |
Варіант 20 | ![]() |
Варіант 21 | ![]() |
Варіант 22 | ![]() |
Варіант 23 | ![]() |
Варіант 24 | ![]() |
Варіант 25 | ![]() |
Варіант 26 | ![]() |
Варіант 27 | ![]() |
Варіант 28 | ![]() |
Варіант 29 | ![]() |
Варіант 30 | ![]() |
Завдання ІІІ
Варіант 1 | Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що еліпс проходить через точку А(0;-3) та його ексцентриситет дорівнює ![]() |
Варіант 2 | На параболі ![]() |
Варіант 3 | Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус еліпса ![]() |
Варіант 4 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що точки А( ![]() ![]() |
Варіант 5 | Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його фокуси F1(0; 0), F2(1; 1), а його велика вісь дорівнює 2. |
Варіант 6 | Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола симетрична відносно осі ординат ОY та проходить через точки O(0;0) і N(6;-2). |
Варіант 7 | Скласти рівняння кола, що проходить через точку О(0;0) і має центр в точці А, де А – вершина параболи ![]() |
Варіант 8 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що відстань між вершинами дорівнює 8, а відстань між фокусами дорівнює 10. |
Варіант 9 | Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що його мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює 10. |
Варіант 10 | Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола симетрична відносно осі абсцис та проходить через точки O(0;0) і М(1;-4). |
Варіант 11 | Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус гіперболи ![]() |
Варіант 12 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що дійсна вісь гіперболи дорівнює 5, а вершини ділять відстань між центром і фокусом навпіл. |
Варіант 13 | Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через дві точки А(3;0) та В(2; ![]() |
Варіант 14 | Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола має фокус Р(0;2) та вершину в точці О(0;0). |
Варіант 15 | Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси гіперболи ![]() |
Варіант 16 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що дійсна вісь дорівнює 6, і гіпербола проходить через точку А(9;-4). |
Варіант 17 | Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 6, а ексцентриситет дорівнює ![]() |
Варіант 18 | Скласти рівняння параболи, якщо відоме рівняння директриси кривої ![]() |
Варіант 19 | Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси еліпса ![]() |
Варіант 20 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси співпадають з фокусами еліпса з рівнянням ![]() |