Дифференцирование функций комплексного переменного
Основные теоретические положения и расчетные формулы.
1.1 Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа:
Корень -ой степени из комплексного числа
имеет
различных значений, которые находятся по формуле:
1.2 Элементарные функции комплексного переменного:
Значения показательной функции комплексного переменного вычисляются по формуле:
Показательная функция обладает свойствами:
,
, т.е.
является периодической функцией с основным периодом
.
Тригонометрические функции и
выражаются через показательную функцию следующим образом:
,
Функции и
- периодические с действительным периодом
и имеют только действительные нули
и
соответственно.
Функции и
определяются соотношениями:
,
Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются в силе все известные формулы тригонометрии.
Гиперболические функции определяются соотношениями:
При этом справедливы соотношения, связывающие гиперболические и тригонометрические функции
Логарифмическая функция определяется как функция обратная показательной:
Значение функции, которое получается при , называется главным значением и обозначается
Логарифмическая функция обладает свойствами
Функции определяются как обратные к функциям
соответственно. Так, если
, то
называется арккосинусом числа и обозначается
. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую:
Значения, соответствующие главному значению логарифма, обозначаются соответственно и называются главными значениями этих функций.
Степенная функция , где
- любое комплексное число, определяется соотношением:
Эта функция многозначная, значение называется главным значением.
Показательная функция определяется равенством:
Главное значение этой функции .
Кривые на комплексной плоскости.
Уравнение вида
определяет на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которой имеют вид:
Исключив параметр из этих уравнений (если это возможно), получим уравнение кривой вида
.
Дифференцирование функций комплексного переменного
Пусть функция определена в некоторой области
комплексного переменного
. Пусть
и
принадлежат области
.
Если , то:
Обозначим и
соответственно действительную и мнимую часть функции
, т.е.
Тогда в каждой точке, в которой существует , выполняются соотношения:
,
называемые условиями Коши-Римана.. Верно и обратное, если в некоторой точке выполняются условия Коши-Римана, а функции
и
дифференцируемы, то функция
является дифференцируемой в точке
как функция комплексного переменного
.
Функция называется аналитической в точке
, если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности. Если
является аналитической в каждой точке области
, она называется аналитической в области
.
Производная аналитической функции определяется по формулам:
Пользуясь условиями Коши-Римана можно восстановить аналитическую функцию , если известна ее действительная часть
или мнимая часть
.
Пусть, например, . Найти аналитическую функцию
.
Из условий Коши-Римана имеем
Интегрируя последнее уравнение по , получим
Отсюда
Таким образом,
и
Постоянная может быть определена, если задано начальное условие
.