ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Задача 2.1. Найти все значения корня:
1. 
2. 
Решение: 1. 
, 
, 
2. 
, 
, 
На комплексной плоскости значения корней могут быть представлены следующим образом (см. рис 2.1 и 2.2)
Задача 2.2. Представить в алгебраической форме:
1. 
; 2. 
Решение:
1. 
Т. о. - действительное число.
2. 
Задача 2.3. Представить в алгебраической форме:
1. 
2. 
Решение:
1. 
2. 
Задача 2.4.Вычертить область, заданную неравенствами:
1. 
; 2. 
Решение:
- кольцо, ограниченное окружностями 
, окружности не принадлежат области:
правая полуплоскость без границы;
- полоса, ограниченная прямыми 
и 
прямые принадлежат области. Таким образом, на комплексной плоскости область имеет вид(см. рис 2.3):
- круг единичного радиуса с центром в точке 
, граница круга области не принадлежит.
- полуплоскость, расположенная выше прямой 
вместе с границей;
- полуплоскость, расположенная ниже прямой 
вместе с границей.
Таким образом, область на комплексной плоскости имеет вид (см. рис 2.4):
Задача 2.5. Определить вид кривой:
1. 
2. 
Решение:
1. 
- прямая.
2. 
Приведем уравнение к каноническому виду. Повернем координатные оси на угол 
.
Угол выберем так, чтобы 
Тогда 
Пусть 
. Тогда 
- гипербола.
Задача 2.6. Восстановить аналитическую в окрестности точки 
функцию 
по известной действительной части 
или мнимой части 
и значению 
.
1. 
2. 
Решение. Проверим является ли функция гармонической.
Т.е. – гармоническая функция.
Потребуем выполнения условий Коши-Римана:
Из первого условия:
Из второго условия:
Следовательно, 
.Тогда
или 
Из условия 
имеем 
. Таким образом, 
2. Проверим гармоничность функции :
- гармоническая функция.
Потребуем выполнения условий Коши-Римана:
Из первого условия:
Из второго условия:
Следовательно, 
. Тогда 
или 
. Из условия имеем .
Таким образом, 
.
Задача 2.7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.
1. 
2. 
, АВ – отрезок прямой, 
Решение 1. Кривая 
, вдоль которой ведется интегрирование, представлена на рис 2.5.
Подынтегральная функция аналитическая, поэтому можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
Отрезок АВ, вдоль которого ведется интегрирование, представлен на рис. 2.6.
Уравнение прямой АВ , тогда вдоль АВ 
, 
. 
Задача 2.8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням 
:
1. 
2. 
Решение.
1. Разложим функцию на простые дроби.
Приравнивая коэффициенты при 
: 
Тогда 
Функция имеет следующие области аналитичности:
В области 
тогда 
В области 
тогда 
В области 
Тогда 
2. Разложим функцию на простые дроби.
Тогда 
Функция имеет следующие области аналитичности:
В области
Тогда 
В области .
Тогда 
В области .
Тогда 
Задача 2.9. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням 
.
1. 
2. 
Решение. Так как функция аналитическая всюду, кроме точек 
, 
и 
, 
, то она может быть разложена в ряд Лорана по степеням 
в следующих областях:
Разложим на простые дроби
В области
Тогда 
В области .
Тогда 
В области .
Тогда
2. Так как 
аналитическая всюду, кроме точек 
, 
и 
, 
, то она может быть разложена в ряд Лорана по степеням 
в следующих областях:
Разложим на простые дроби:
Если 
, то
Если 
, то
Если 
, то
Если 
, то
Тогда в области : 
.
В области : 
.
В области : 
.
Задача 2.10. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки .
1. 
2. 
Решение.1. Функция имеет одну особую точку , т.е. она является аналитической в области 
. В этой области запишем ее разложение в ряд Лорана, используя разложение функции 
:
Тогда
2. Функция имеет одну особую точку 
, т.е. она является аналитической в области 
. В этой области запишем ее разложение в ряд Лорана, используя разложение функции 
:
Тогда
Задача 2.11. Определить тип особой точки данной функции
1. 
2. 
Решение
,т.е точка 
не является нулем числителя
т.е точка является нулем 4-го порядка
2. 
т.е. есть нуль 5-го порядка числителя
т.е. есть нуль 2-го порядка знаменателя. Это означает, что имеет в точке нуль 3-го порядка, т.е. есть устранимая особая точка функции.
Задача 2.12. Для заданной функции найти изолированные особые точки и определить их тип:
1. 
2. 
Решение 1.
т.е. есть нуль 3-го порядка числителя.
Одновременно есть нуль 2-го порядка для знаменателя. Это означает, что есть нуль 1-го порядка , т. е. есть устранимая особая точка функции .
, т.е. 
есть полюсы 1-го порядка .
2. есть существенно особая точка функции , т. к. не существует предела 
.
т. е. 
есть устранимая особая точка функции .
т. е. 
есть устранимая особая точка функции .
есть полюсы 1-го порядка , т. к. они являются нулями 1-го порядка знаменателя и не являются нулями числителя.
Задача 2.13. Вычислить интегралы:
1. 
.
2. 
Решение.
1. Внутри контура 
имеет особые точки:
- устранимая особая точка, т.к. 
Вычет в точке равен 0.
- полюс 1-го порядка.
Вычет в точке равен
Тогда по основной теореме о вычетах
2. Внутри контура 
имеет особую точку - полюс 1-го порядка
Тогда
Задача 2.14. Вычислить интегралы:
1. 
.
2. 
Решение. 1. Внутри контура 
имеет полюс 5-го порядка в точке .
Тогда 
.
2. Внутри контура 
имеет существенно особую точку .
т.е. ряд Лорана имеет бесконечное число членов в главной части разложения.
Из разложения следует 
Тогда 
Задача 2.15. Вычислить интегралы:
1. 
.
2. 
Решение. 1. Внутри контура 
имеет полюс 1-го порядка в точке .
Тогда 
2. Внутри контура 
имеет полюс 1-го порядка в точке , т. к.
Тогда 
.
Задача 2.16. Вычислить интегралы:
1. 
.
2. 
Решение. 1. Внутри контура 
функция 
имеет существенно особую точку 
,т. к. 
не существует, функция 
имеет полюс 2-го порядка в точке .
Найдем вычеты функций в этих точках:
Тогда 
.
2. Внутри контура функция 
имеет полюс 1-го порядка в точке 
, т.к. 
при 
.
имеет полюс 2-го порядка в точке 
.
Найдем вычеты функций в этих точках:
Тогда
Задача 2.17. Вычислить интегралы:
1. 
2. 
Решение. 1. Рассмотрим интеграл вида
Пусть 
, тогда 
При изменении 
от 
до 
переменная пробегает окружность в положительном направлении, и исходный интеграл сведется к интегралу по замкнутому контуру , т.е.
Корни уравнения 
Внутри контура лежит лишь одна точка 
являющаяся полюсом 1-го порядка
Тогда 
Применяя полученный результат к конкретным интегралам, будем иметь:
1. 
2. 
Задача 2.18. Вычислить интегралы:
1. 
2. 
Решение. Рассмотрим интеграл вида
Пусть , тогда 
При изменении от до переменная пробегает окружность в положительном направлении, и исходный интеграл сведется к интегралу по замкнутому контуру , т.е.
Корни уравнения 
, 
Внутри контура лежит лишь одна точка 
, являющаяся полюсом 2-го порядка
Тогда 
Применяя полученный результат к нашей задаче, будем иметь
1. 
2. 
Задача 2.19. Вычислить интегралы:
1. 
2. 
Решение. 1. Функция 
совпадает с функцией 
на оси ОХ и имеет в верхней полуплоскости полюс 2-го порядка в точке 
.
Тогда 
.
2. Функция 
совпадает с функцией 
на оси ОХ и имеет в верхней полуплоскости две особые точки: полюс 2-го порядка в точке 
и полюс 1-го порядка в точке 
.
Тогда 
.
Задача 2.20. Вычислить интегралы:
1. 
2. 
Решение. 1. Рассмотрим функцию 
, которая имеет в верхней полуплоскости в точках 
и 
полюсы 1-го порядка.
Тогда 
.
2. Рассмотрим функцию 
, которая имеет в верхней полуплоскости полюс 2-го порядка в точке .
Тогда 
.
Задача 2.21. Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура при отображении с помощью функции 
.
1. 
, полуплоскость 
2. 
, полоса 
Решение. 1. Дробно-линейное отображение строим по 3-м парам точек и направлению обхода.
Например, 
- точка на единичной окружности;
- точка на единичной окружности
- точка на единичной окружности.
Таким образом, полуплоскость преобразуется во внешнюю область единичного круга (см. рис 2.7)
2. 
Рассматриваемое отображение можно рассматривать как последовательные отображения:
– поворот на угол 
и расширение полосы вдвое;
– полученная полоса отображается на полуплоскость 
;
– дробно-линейная функция отображает полуплоскость на внутренность единичного круга. (см. рис 2.8)
Задача 2.22. Найти круг сходимости степенного ряда и определить сходимость ряда на границе круга.
1. 
; 2. 
.
Решение 1. Запишем 
–й и 
–й члены ряда:
, 
По признаку Даламбера 
. В нашем случае:
Отсюда, ряд сходится в круге 
. При этом, ряд сходится абсолютно, если и равномерно, если 
.
На границе круга 
имеем числовой ряд с действительными членами 
, который по признаку Лейбница сходится условно.
2. Запишем –й и –й члены ряда:
, 
По признаку Даламбера
.
Отсюда, ряд сходится в круге 
. При этом, ряд сходится абсолютно, если и равномерно, если 
.
На границе круга 
имеем числовой ряд с действительными членами 
.
Ряд 
сравним с гармоническим рядом 
.
Ряд расходится, следовательно по признаку сравнения ряд тоже расходится. Следовательно, исходных ряд на границе круга расходится.
Домашнее задание по ТФКП.
1. Найти все значения корня комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости.
2. Представить комплексное число в алгебраической форме.
3. Представить комплексное число в алгебраической форме.
4. Определить область, заданную неравенствами. Сделать чертеж.
5. Определить вид кривой.
6. Восстановить функцию 
, аналитическую в окрестности точки , по известной действительной части 
или мнимой части 
и значению 
.
7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по заданной кривой, используя формулу Ньютона-Лейбница.
8. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по заданной кривой, сведя интеграл к криволинейным интегралам от функции действительного переменного.
9. Найти все разложения функции в ряд Лорана по степеням .(дробно-рациональная функция)
10. Найти все разложения функции в ряд Лорана по степеням 
.(дробно-рациональная функция)
11. Найти все разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки .
12. Определить тип особой точки 
для данной функции.
13. Для данной функции найти изолированные особые точки и определить их тип.
14. Вычислить интеграл, используя теорему о вычетах.
15. Вычислить интеграл.
16. Вычислить интеграл.
17. Вычислить интеграл.
18. Вычислить интеграл.
19. Вычислить интеграл.
20. Определить, во что превращается фигура при отображении функции .
21. Определить круг сходимости степенного ряда и оценить сходимость ряда на границе круга сходимости.