Метод сечений. Понятия о напряжениях

В процессе деформации бруса под нагрузкой в нем появляются дополнительные (к силам физического взаимодействия между частицами тела) механические силы взаимодействия, которые и изучаются в сопротивлении материалов. Для выявления этих сил используются метод сечений: мысленно рассечем брус плоскостью и рассмотрим одну его

tn
DF
r
n
sn
часть, например левую (рис. 1.3).

В сечении левой части возьмем произвольную точку О, в окрестности которой выделим малую площадку , на которую действует малая сила как результат действия отброшенной правой части.

Отношение среднее напряжение на площадке .

Величина полное напряжение в т. О, имеет размерность Н/м2 и физический смысл – интенсивность давления (поверхностная нагрузка).

В т. О проведем к сечению орт нормали (ню). Обычно направления векторов r и n не совпадают. Поэтому полное напряжение r можно разложить на две составляющие (компоненты): нормальное напряжение и касательное напряжение, действующее в плоскости сечения ( сигма, тау). Очевидно, что r геометрическая сумма векторов или в скалярном виде .

Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, т.е. сечение левой части является поперечным (рис. 1.4). В т. О введем правые оси и т.к. сечение бруса поперечное, то ось совпадает с нормалью . А оси х и у будут расположены в сечении бруса.

В этом случае нормальное напряжение можно обозначить нормальное напряжение вдоль оси . Касательное напряжение можно разложить на составляющие по осям х и у, т.е.

или

Обозначение напряжений: нормальные напряжения обозначаются , индекс определяет его направление по осям; касательные напряжения обозначаются с двумя индексами: первый определяет его направление, а второй – площадку, в которой он действует. Например: касательное напряжение, действует в направлении у на площадке перпендикулярной оси .

r

Т.к. оси xyz декартовые, то очевидно:

или (1.1)

Для определения знаков всех напряжений введем следующие правила:

1. Вводим для бруса правые оси xyz.

2. Рассекаем брус плоскостью перпендикулярной к оси z. К сечениям левой и правой частей проводим внешние (т.е. наружу) орты нормалей . Площадка сечений считается положительной, если внешняя нормаль совпадает с направлением оси z (т.е. сечение левой части положительно, а сечение правой части – отрицательная площадка).

3. На положительной площадке положительные напряжения совпадают с положительными направлениями осей x, y, z. На отрицательной площадке – положительные напряжения направлены против осей x, y, z (это соответствует III закону Ньютона – действие и противодействие).

Итак: на рис. 1.4 сечение левой части – положительная площадка и все показанные напряжения положительны.

 

Напряжения в декартовой системе координат

Выделим из трехмерного тела малый прямоугольный элемент (кубик) с ребрами параллельными осям координат xyz (рис. 1.5а). Согласно введенному выше правилу видимые площадки кубика положительные (внешние нормали к ним совпадают с направлениями осей x, y, z), а невидимые площадки – отрицательны. На положительных площадках со стороны отброшенных частей тела действуют полные напряжения , а на отрицательных площадках – противоположно направленные . Каждое это полное напряжение можно разложить на компоненты по осям x, y, z по аналогии с разложениями (1.1).

 

Рис. 1.5

Положительные направления всех компонент на положительных (видимых) площадках показаны на рис. 1.5в. Аналогичные напряжения действуют и на отрицательных (невидимых) площадках, но противоположно направленные (на рис. 1.5 не показаны).

Итак, в самом общем случае нагружения трехмерного тела в нем могут появиться девять компонент напряженного состояния, которые в декартовых осях можно записать в виде тензора напряжений Тs

(1.2)

 

Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим равновесие малого прямоугольного элемента с ребрами длиной и вырезанного из тела. По всем его площадкам действуют напряжения, показанные на рис. 1.5в. Рассмотрим моментное уравнение равновесия элемента относительно оси , проходящей через центр тяжести площадки, перпендикулярной к оси х, т.е. . При этом оставим на рис. 1.6 только те напряжения, которые дают такие моменты. На невидимых (отрицательных) площадках действуют сами напряжения и , а на видимых (положительных) – напряжения с малыми приращениями по соответствующей координате, т. е. и . Напряжения умножаем на площадки, где они действуют (получим силы на них) и составим . (ось на рис. 1.6 показана как точка )

Рис. 1.6

(1)

Ввиду малости размеров и , приращения напряжений можно счи-тать малыми по сравнению с основны-

ми напряжениями и и их не учитывать. Сокращая в (1) на окончательно получим

= .

Аналогично, оставив моментные уравнения равновесия относительно осей и , проходящие через центр кубика, окончательно получим:

(1.3)

Эти соотношения и есть закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны между собой. Поэтому тензор напряжений Тs (1.2) из девяти величин содержит только шесть независимых величин.

 

Понятия о перемещениях и деформациях

Под действием нагрузки тело деформируется, т.е. изменяются его форма и размеры. Отметим в теле до его нагружения точку «К» (рис. 1.7).

Рис. 1.7 После нагружения тела эта точка переместиться в пространстве и займет положение . Отрезок называют полным перемещением. Его можно разложить на компоненты по осям x, y, z, т.е. . Здесь перемещение точки тела вдоль оси х, перемещение вдоль оси у, вдоль оси . Каждая точка тела перемещается по-своему, поэтому компоненты перемещения точки явля-

ютсяфункциями ее координат, т.е. , , .

Мысленно через т. К проведем малые отрезки KB и KC, параллельные осям y и z. После нагружения тела эти отрезки займут положение K1B1 и K1C1. Углы и малы при допустимых нагрузках. Величина называется относительной линейной деформацией вдоль оси у в т. К.

Аналогично имеют место и относительные линейные деформации вдоль оси , оси ( эпсилон). положительны при деформациях удлинения (растяжения). Они безразмерны.

В процессе деформации тела первоначально прямой угол ВКС изменяется на величину деформация сдвига в плоскости . Аналогично могут возникнуть и деформации сдвига в плоскостях и . Они измеряются в радианах. Деформации сдвига положительны, если первоначально прямой угол становиться острым. Совокупность линейных деформаций и деформаций сдвига полностью определяют деформированное состояние в точке тела, которые также являются функциями координат точки тела ( гамма). Их можно записать в матричной форме в виде тензора деформаций . Очевидно, что

(1.4)

 

Внутренние силы и моменты в брусе

Для определения внутренних силовых факторов в сечениях бруса, которые возникают от внешней нагрузки на брус , можно использовать также метод сечений, описанный выше и показанный на рис. 1.3. В каждой точке сечения левой части бруса действует полное напряжение . Разобьем все сечение левой части «А» на большое число малых площадок , . Систему малых сил по всему сечению бруса можно перенести в произвольную точку «О» сечения. При этом в т. О получим главный вектор силы и главный вектор момента , которые являются результатом действия отброшенной правой части.

Брус до рассечения находился в равновесии, поэтому левая часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил , и . Следовательно, должны выполняться векторные уравнения равновесия

(А)

Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к его оси, т.е. сечение левой части поперечное. За т. О примем центр тяжести сечения и построим правую систему координат , ось перпендикулярна к сечению, а оси х и у лежат в плоскости сечения левой части бруса (рис. 1.8). Главный вектор и главный момент можно разложить на компоненты по осям :

Рис. 1.8 (В) Здесь: внутренняя продольная сила, вызывает растяжение или сжатие бруса; и внутренние поперечные силы, вызывают деформации сдвига; внутренние изгибающие моменты; внутренний скручи-

вающий момент в брусе. Положительные направления всех внутренних силовых факторов в сечении левой части бруса показаны на рис. 1.8: положительны, если направлены вдоль осей x, y, z; положительны, если направления этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки.

Векторные уравнения (А) с учетом разложений (В) можно записать в виде обычных шести уравнений статики для левой части бруса

(Г)

Здесь, например, компоненты в направлении оси внешних сил , действующих на левую часть бруса; моменты относительно оси сил действующих на левую часть. Ввиду равновесия бруса в целом, по III закону Ньютона

С учетом этого уравнения (Г) можно записать через нагрузки на правую отсеченную часть бруса

(Д)

Из соотношений (Г) и (Д) следуют общие формулы для определения внутренних силовых факторов в сечении левой части бруса через внешние нагрузки на левую или правую части бруса

(1.5)

Внешние силы (на левой и правой частях бруса) положительны, если направлены вдоль осей. Внешние моменты (от нагрузок на левую и правую части бруса) положительны, если направление этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки. Внутренние силовые факторы, действующие в сечении правой части бруса, равны по величине и противоположны по направлению действующим в сечении левой части (по III закону Ньютона).

 

Примечание: При вычислении внутренних силовых факторов по (1.5) нельзя заменять систему сил по разные стороны от сечения их равнодействующей, силу нельзя переносить вдоль линии ее действия из одной части бруса в другую.

 

Зависимость между напряжениями и

внутренними силовыми факторами

Внутренние силовые факторы в сечении бруса: , и есть равнодействующие внутренних напряжений , распределенных по сечению бруса. Поэтому, они связаны определенными зависимостями, которые легко установить из рис. 1.9, на котором показаны

Мx
z
sz
tyz
txz
Qx
Qy
Nz
Мy
Мz

Рис. 1.9

 в сечении левой части бруса все положительные внутрен-ние силовые факторы и все положительные внутренние напряжения, действующие на малой площадке с положи-тельными координатами х и у. Умножаем напряжения на площадку , полученные силы и моменты от них относительно осей x, y, z, суммируем по всей площади А

сечения (т.е. интегрируем по А), получим:

(1.6)

Дифференциальные уравнения равновесия прямого бруса

Рассмотрим прямой брус, нагруженный положительными погонными нагрузками , погонными моментами , некоторым набором сосредоточенных сил и сосредоточенными изгибающими и скручивающими моментами, т.е. брус произвольно нагружен.

Все эти нагрузки считаем приложенными к оси бруса. На участке бруса без сосредоточенных сил и моментов выделим поперечными сечениями а-а и в-в участок малой длины . Этот участок нагружен положительными , , а по торцам положительными внутренними силовыми факторами (рис.1.10). В сечении а-а (торец правой отсеченной части, его площадка отрицательна) действуют , , . Они направлены противоположно, чем положительные внутренние силовые факторы на торце левой отсеченной части, показанные на рис. 1.8. В сечении в-в ((торец левой отсеченной части) действуют ранее установленные положительные внутренние силовые факторы с приращениями на участке (рис. 1.10). Точки и в сечении бруса условно смещены влево и вправо (чтобы рис. 1.10 не перегрузился обозначениями силовых факторов).

Рис. 1.10

Под действием всех указанных силовых факторов (внешних и внутренних) рассматриваемый элемент бруса, как вырезанный из целого бруса, должен находится в равновесии. Составим шесть уравнений равновесия (погонные нагрузки умножаем на ):

1) Отсюда

2) Отсюда

3) Отсюда

Моментные уравнения равновесия запишем относительно осей , проходящих через т. сечения в-в.

4)

Отсюда Здесь, ввиду малости , последнее слагаемое отброшено как величина значительно меньше, чем другие слагаемые.

5)

Отсюда

6) .

Отсюда

Итак, получим шесть зависимостей:

(1.7)

Эти зависимости играют важную роль при изучении «Сопротивления материалов». Их можно использовать для проверки правильности определения внутренних силовых факторов в сечении брусьев.