Доказательство теоремы Пойнтинга для уравнений Максвелла в вакууме

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

Домножив обе части уравнения на , получим:

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

Домножив обе части уравнения на , получим:

Вычитая первое из второго, получим:

Наконец:

Поскольку вектор Пойнтинга определяется как:

это равносильно:

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

Где S — вектор Пойнтинга, J — плотность тока и E — электрическое поле. Плотность энергии ( — электрическая постоянная, — магнитная постоянная).

38. Доказательство закона сохранения энергии для системы: электромагнитное поле + заряженные частицы.

Максвелловский тензор напряжений в вакууме и в среде. Инвариантность относительно дуальных преобразований.