Преобразование Фурье в классе
В случае области бесконечной меры пространства 
не вкладываются одно в другое. В частности, 
(пример: 
). Поэтому преобразование Фурье не применимо в обычном смысле к тем функциям из 
, которые не принадлежат 
. Тем не менее в пространстве можно ввести преобразование Фурье, но понимать его надо в более широком смысле, чем в .
Теорема (Планшерель, 1910 г.).Для всякой функции 
интеграл
(1)
представляет собой функцию, принадлежащую (по 
) пространству 
. При 
последовательность 
в метрике имеет некоторый предел 
, причем
(2)
Если f(x), кроме того, принадлежит 
, то есть обычное преобразование Фурье функции f(x). Поэтому и в общем случае (когда 
) называется преобразованием Фурье от f(x).
Замечание 1.В теории обобщенных функций доказывается, что преобразование Фурье отображает на взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Замечание 2.Справедливо более общее, чем (2), соотношение. Именно, если 
и 
– любые функции из , а 
– их преобразования Фурье, то
Для доказательства достаточно рассмотреть равенство (2) для 
.
Соотношения между гладкостью функции и убыванием ее преобразования Фурье сохраняются и в .
Утверждение.Пусть является локально абсолютно непрерывной, и 
. Тогда 
. Верно и обратное утверждение: если 
и 
, то 
есть локально абсолютно непрерывная функция, и 
Доказательство в [2], стр.393-394.
Если и финитна (равна нулю вне отрезка [-b;b]), то она принадлежит пространству и ее преобразование Фурье – функция может быть аналитически продолжена в плоскость 
. Действительно, выражение 
определено при всех комплексных . Оно удовлетворяет оценке 
и является аналитической функцией от .
Определение.Целая аналитическая функция 
, удовлетворяющая неравенству 
, называется функцией экспоненциального типа 
.
Мы видим, что преобразование Фурье квадратично суммируемой функции, обращающейся в ноль при 
, есть целая функция экспоненциального типа. Справедлива и обратная теорема.
Теорема (Винер - Палей) [2].Если целая функция экспоненциального типа интегрируема в квадрате по вещественной оси, то она является преобразованием Фурье функции , равной нулю вне отрезка [-b;b].