Первое уравнение Максвелла
В 1820 году датский физик Эрстед демонстрировал электрический ток и обнаружил, что вокруг проводника с током существует магнитное поле. Это было обнаружено по действию электрического тока на магнитные стрелки, расположенные около проводника с током. Экспериментально с помощью железных опилок или набора магнитных стрелок было установлено, что магнитные линии являются замкнутыми. Тогда можно говорить, что магнитное поле имеет вихревой характер. Математически это записывается с помощью оператора «ротор», этот оператор записывается символами 
или 
. Характеристикой магнитного поля является его напряженность 
, поэтому говорят о вихрях напряженности магнитного поля. Они существуют не только вокруг тока проводимости, но и вокруг тока смещения. Тогда этот экспериментальный факт можно записать с помощью уравнения:
(2.1)
(2.1.1)
Здесь 
- плотность тока проводимости, а 
- плотность тока смещения.
Формула (2.1) представляет собой первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме. При интерпретации этого уравнения необходимо понимать следующее:
1. Уравнение (2.1) утверждает, что вокруг любого тока существует вихревое магнитное поле;
2. Выражение «электрический ток порождает магнитное поле» не совсем корректно для постоянного тока, так как не существует системы отсчета, в которой проводник с током существовал бы отдельно от магнитного поля;
3. Нельзя говорить, что постоянный ток порождает постоянное магнитное поле, так как они существуют в единстве, и здесь нет причинно-следственной связи;
4. В случае переменных полей можно говорить, что изменяющееся электрическое поле порождает магнитное поле. Но об этом речь в другом уравнении Максвелла;
5. Уравнение (2.1) является описанием бесконечно малой окрестности некоторой изучаемой точки.
Получим первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Для этого умножим скалярно формулу (2.1) на вектор 
и проинтегрируем по поверхности всей площадки:
(2.2)
Применим к левой части уравнения (2.2) формулу Стокса:
(2.3)
Здесь 
- замкнутый контур, ограничивающий поверхность 
, а 
- проекция вектора напряженности магнитного поля на касательную к контуру. Подставляем формулу (2.3) в формулу (2.2):
(2.4)
Здесь по определению плотности тока записаны значения тока проводимости и тока смещения:
(2.5)
(2.6)
Уравнение (2.4) представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Оно имеет тот же смысл, что и уравнение в дифференциальной форме, только здесь речь идет о конечном замкнутом контуре и конечной площадке.
Физическая сущность первого уравнения Максвелла в интегральной форме – вокруг тока проводимости и тока смещения существуют вихри магнитного поля.