Седьмое уравнение Максвелла
Седьмое уравнение Максвелла представляет собой закон сохранения электрического заряда, который может быть записан в различных формулировках. Чтобы их использовать, рассмотрим подробно все понятия, связанные с законом сохранения электрического заряда.
Закон сохранения электрического заряда был сформулирован Фарадеем в 1834 году. В современной формулировке он читается следующим образом: алгебраическая сумма зарядов всех частиц и всех античастиц в замкнутой системе остается величиной постоянной.Эта формулировка представляет собой физическую сущность седьмого уравнения Максвелла.
Для математической записи этого закона используются следующие известные физические величины:
1. Сила электрического тока или сила тока 
: Сила тока – это скалярная физическая величина, численно равная количеству электричества, которое проходит через сечение проводника за единицу времени:
(2.46)
Здесь 
- заряд, 
- время.
2. Плотность электрического тока или плотность тока 
:Плотность тока – это векторная физическая величина, численно равна отношению силы тока к площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению движения зарядов. Вектор плотности тока направлен по направлению движения положительных зарядов в проводнике:
(2.47)
Здесь 
- площадь поперечного сечения проводника. Сечение перпендикулярно направлению движения положительных зарядов.
3. Объемная плотность заряда 
: Объемной плотностью заряда называется физическая величина, равная количеству электричества, заключенного в единице объема:
(2.48)
Закон сохранения электрического заряда в интегральной форме записывается следующей формулой:
(2.49)
Это равенство записано из следующих соображений. Будем считать направление электрического тока положительным, если движение положительного заряда происходит из некоторого объема наружу. Если положительные заряды движутся в противоположном направлении, то направление электрического тока будем считать отрицательным. После этого условия становится понятным знак «минус» в формуле (2.49).
В общем виде формула (2.49) записывается через частные производные, так как заряд может зависеть не только от времени, но и от координат:
(2.50)
Формула (2.50) представляет собой закон сохранения электрического заряда в интегральной форме.
Выразим заряд через объемную плотность заряда:
(2.51)
Выразим силу тока через плотность тока:
(2.52)
Подставляем формулы (2.51) и (2.52) в формулу (2.50):
(2.53)
Применим к левой стороне формулы (2.53) теорему Гаусса:
(2.54)
Подставляем формулу (2.54) в формулу (2.53) и получаем:
(2.55)
Поменяем порядок дифференцирования, и интегрирования в правой части формулы (2.55) и получаем:
(2.56)
Интеграл равен нулю при отличном от нуля объеме интегрирования, если подынтегральное выражение равно нулю:
(2.57)
Формула (2.57) представляет собой закон сохранения заряда в дифференциальной форме.
Таким образом, седьмое уравнение Максвелла имеет вид:
1) в интегральной форме: ;
2) в дифференциальной форме: 
Обе формы записи выражают закон сохранения электрического заряда.