Нормальное распределение непрерывных случайных величин. Распределение Стьюдента. Интегральная функция распределения

Наиболее распространенным для непрерывных случайных величин является нормальное распределениес плотностью

где e - основание натуральных логарифмов;

μ, σ- параметры распределения.

Случайные погрешности многократных измерений обычно распределены по нормальному закону.

Кривые нормального распределения (рис. 4.4) симметричны относительно ординаты, проходящей через точку x = μ, и имеют в этой точке единственный максимум, равный 1/( ) (мода для нормального закона распределения). При x=μ кривая симметрична относительно оси ординат. Абсциссам μ-σ и μ+σ соответствуют точки перегиба кривой; с уменьшением σ максимум кривой возрастает, и она становится более островершинной.

Рис. 4.4

Нормальное распределение также называют распределением Гаусса, использование которого для обработки конечных совокупностей случайных величин, если число n достаточно велико (n ³ 30). В этом случае условно считают, что наблюдаемые n значений величины X, т.е. x₁, x₂, …, x_n представляет собой случайную выборку из воображаемой бесконечной генеральной совокупности.

В статистике малых выборок (в микростатистике) большую роль играет другое распределение непрерывных случайных величин – распределение Стьюдента, плотность вероятности которого определяется выражением

где G(a) - гамма-функция (интеграл Эйлера второго рада);

t_g - величина, характеризующая степень отклонения выборочных статистических характеристик от генеральных;

k = n –1 - число степеней свободы.

Значение гамма-функции для целого положительного числа b можно вычислить по формуле

G(a) = (b - 1)!

График распределения Стьюдента напоминает по форме нормальное распределение и с увеличением n приближается к нему все больше (можно считать, что при n > 30 оба графика практически совпадают).

Следующий способ описания совокупности случайных величин – с помощью интегральной функции распределения. Значение этой функции F(x) при каждом фиксированном x равно вероятности того, что случайная величина X не превысит x, т.е. F(x) = p(X<x).

Интегральная функция нормального распределения (рис. 4.5) описывается формулой

и изменяется от 0 до 1 при изменении x от -¥ до ¥. Значения F(x; m, s) для конкретных x, m и s можно вычислить по таблицам стандартной функции – так называемого интеграла Лапласа F(y). Функция F(x; m, s) вычисляется по формуле

F(x; m, s) = F[(x-m)/s] + 0,5.

Таблица F(y)составлена только для положительных значений y, для отрицательных следует воспользоваться соотношением

F(-y) = -F(y).

Рис. 4.5

Контрольные вопросы.

1. Какие статистические характеристики для дискретной случайной величины Вы знаете?

2. Что такое гистограмма, полигон частот, кривая распределения плотности вероятностей непрерывной случайной величины?

3. В каких случаях магнитные методы применяются для доводки концентратов.

4. Дайте определение нормального распределения, распределения Стьюдента, интегральной функции распределения.

Литература к лекции: [1], [2], [4]

Для заметок к лекции № 4

Лекция № 5

Обработка экспериментальных данных при прямых измерениях

Вопросы, выносимые на лекцию: Предварительная обработка результатов измерений. Методика обработки результатов прямых однократных измерений. Методика обработки результатов прямых однократных измерений. Методика обработки результатов прямых равноточных многократных измерений. Методика обработки результатов прямых неравноточных измерений