Функции спроса, уравнение Слуцкого

Пусть р – цена товара X, q – цена товара Y, R – доход потре­бителя. Напомним, что функцией полезности U(x, у) называется функция, задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара Х и у единиц товара Y. Будем считать, что потребитель может покупать только такие наборы (х, у), стоимость которых не превосходит его дохода, т.е. рх + qy£ R.

Определение. Пусть функция полезности U(x,y), при любых положительных р, q и R имеет на множестве

{рх + qy £ R, x³0, y³0} (1.1.6)

единственную точку глобального максимума (х*; у*). Тогда х*; у* – функции от р, q и R: х* = xD(p,q,R), y* = yD(p,q,R).

Эти функции называютсяфункциями спроса.

Смысл данного определения в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах.

Для любого t > 0 функции спроса удовлетворяют следующим тождествам:

xD(tp,tq,tR)=xD(p,q,R), yD(tp,tq,tR)=yD(p,q,R).

Таким образом, функции спроса являются однородными функциями степени однородности 0. Следовательно, для дифференцируемых функций спроса выполняются тождества Эйлера:

px'p+qx'q+Rx'R= 0, py'p+qy'q+Ry'R= 0, (1.1.7)

а также следующие уравнения для эластичности:

Ехр+ Ехq+ ЕхR= 0, Еур+ Еуq+ ЕуR= 0.

Функция Лагранжа запишется так:

L(х,у) = U(x,y) + l(R – рх – qy).

Необходимые условия условного экстрему­ма (условия Куна-Таккера) для функции L(x,у) будут следующие:

U'x(х,у) – lр=0, U'y(x,y) – lq =0,

(R–px – qy)=0, (1.1.8)

l³0.

Если U'x > 0 или U'y > 0 (чаще всего выполняются оба условия), то тогда l можно исключить из системы. В итоге получаем систему уравнений

U'x(х,у)/U'y(x,y)=р/q,

рx + qy= R. (1.1.9)

Первое выражение в (1.1.9) называют вторым законом Госсена. В общем виде он звучит так: максимум полезности обеспечивает такая структура покупок, при которой отношение предельной полезности каждого блага к его цене одинаково для всех благ.

Пpимер1.1.4. Найти функции спроса xD, yD в случае функции полезности

U(x,у)=lnх + ln у – ln(x + у).

Решение. Для заданной функции полезности частные производные первого порядка таковы:

Система уравнений (1.1.9) имеет вид

U'x/ U'x=y2 / x2 =p/q,

рx + qy= R.

Поэтому функции спроса таковы:

В заключение выведем уравнение Слуцкого для функций спроса. С этой целью преобразуем выражение q(x'q + ух'R). С учетом равенства

qx'q = –рх'р – Rх'R , следующего из тождеств Эйлера (1.1.7), и равенства

qy = R – рх, вытекающего из бюджетного равенства рх + qy = R, имеем

q(x'q + ух'R) = –px'p –рх´ х'R = – (px'p + х) + х(1 – рх'R) =

=(R – рх)'p + x(R – рх)'R = qy'p + xqy'R .

Разделив первое и последнее выражения на q, получимуравнение Слуцкого:

х'q +ух'R =у'p +ху'R . (1.1.10)

Уравнение Слуцкого можно умножить на R/xy. Тогда оно приобретает вид

b-1Eхq +ExR =a-1Eyp+EyR,

где Ехq , Еyp – перекрестные коэффициенты эластичности спроса, ExR, EуR – коэффициенты эластичности спроса по доходу, a=рх/R, b=qy/R – доли расходов на товары Х и Y в бюджете R..