Задачи для самостоятельного решения.

ПРАКТИЧЕСКОЕ 3АНЯТИЕ № 1.

Определение количественных характеристик надежности

по статистическим данным об отказах изделия.

Теоретические сведения

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением

,

(1.1)

где n(t) - число изделий, не отказавших к моменту времени t; N- число изделий, поставленных на испытания; Р*(t) - статистическая оценка вероятности безотказной работы изделия.

Для вероятности отказа по статистическим данным справедливо соотношение

,

(1.2)

где N-n(t)- число изделий, отказавших к моменту времени t; q*(t) - статистическая оценка вероятности отказа изделия.

Частота отказов по статистическим данным об отказах определяется выражением

,

(1.3)

где n(t) - число отказавших изделий на участке времени (t, t+t); f*(t) - статистическая оценка частоты отказов изделия; t - интервал врeмени.

Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах определяется формулой

,

(1.4)

где n(t)- число изделий, не отказавших к моменту времени t; n(t) - число отказавших изделий на участке времени (t, t+t) ; *(t)- статистическая оценка интенсивности отказов изделия.

Среднее время безотказной работы изделия по статистическим данным оценивается выражением

,

(1.5)

где t_i - время безотказной работы i- го изделия; N- общее число изделий, поставленных на испытания; m_t* - статистическая оценка среднего времени безотказной работы изделия.

Для определения m_t* по формуле (1.5) необходимо знать моменты выхода из строя всех N изделий. Можно определять m_t* из уравнения

,

(1.6)

где n_i - количество вышедших из строя изделий в i- ом интервале времени;

t_ср.i = (t_i-1+t_i)/2 ; m=t_k/t ; t=t_i+1-t_i ; t_i-1 -время начала i- го интервала; t_i- время конца i- го интервала; t_k - время, в течение которого вышли из строя все изделия; t-интервал времени.

Дисперсия времени безотказной работы иэделия по статистическим данным определяется формулой

,

(1.7)

где D_t*- статистическая оценка дисперсии времени безотказной работы изделия.

Решение типовых задач

Задача 1.1. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп, за 3000 час. отказало 80 ламп. Требуется определить P*(t), q*(t) при t = 3000 час.

Решeниe. В данном случае N= 1000; n(t)=1000-80=920; N-n(t)=1000-920=80. По формулам (1.1) и (1. 2) определяем

или

Задача 1.2. На испытание было поставлено 1000 однотипных ламп. За первые 3000 час. отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000 - 4000 час. отказало еще 50 ламп. Требуется определить статистическую оценку частоты и интенсивности отказов элвктронных ламп в промежутке времени 3000 - 4000 час.

Решение. В данном случае N=1000; t=3000 час; t =1000 час; n(t)=50; n(t)=920.

По формулам (1.3) и (1.4) находим

час

1/час

Задача 1.3. На испытание поставлено N = 400 изделий. За время t = 3000 час отказало 200 изделий, т.е. n(t) = 400-200=200.За интервал времени (t, t+t) , где t= 100 час, отказало 100 изделий, т.е. n(t)= 100. Требуется определить Р*(3000),

P*(3100), f*(3000), *(3000).

Решение. По формуле (1.1) находим

Используя формулы (1.3) и (1.4), получим

(1/час)

(1/час)

Задача1.4. На испытание поставлено 6 однотипных изделий. Получены следующие значения ti (ti - время 6езотказной работы i- го изделия) : t1 =280 час; t2 = 350 час; t3 =400 час; t4 =320 час; t5 =380 час; t6 =330 час.

Определить статистическую оценку среднего времени безотказной работы изделия.

Решение. По формуле (1.5) имеем час.

Задача 1.5. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 7 отказов. Время восстановления составило:

t1 =12мин.; t2=23мин.; t3 =15мин.; t4=9мин.; t5=17мин.; t6=28мин.; t7=25мин.; t8=31мин. Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры .

Решение.

мин.

Задача 1.6. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного оборудования получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в табл.1.1. Требуется определить m_е*.

Таблица 1.1

Решение. В данном случае

Используя формулу (1.6), получим

_ч.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.7. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4000 час. отказало 50 изделий. За интервал времени 4000 - 4100 час. отказало ещё 20 изделий. Требуется определить f*(t),*(t) при t=4000 час.

Задача 1.8. На испытание поставлено 100 однотипных изделий.

За 4000 час. отказало 50 изделий. Требуется определить p*(t) и q*(t) при t=4000 час.

Задача 1.9. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За интервал времени 1000 - 1100 час. отказал еще один гироскоп. Требуется определить f*(t), *(t) при t =1000 час.

Задача 1.10. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 час. отказало 80 ламп. За интервал времени 3000 - 4000 час. отказало еще 50 ламп. Требуется определить p*(t) и q*(t) при t=4000 час.

Задача 1.11. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=1300 час. вышло из строя 288 штук изделий. За последующий интервал времени 1300-1400 час. вышло из строя еще 13 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=1300час.

и t=1400 час.; f*(t), *(t) при t =1300 час.

Задача 1.12. На испытание поставлено 45 изделий. За время t=60 час. вышло из строя 35 штук изделий. За последующий интервал времени 60-65 час. вышло из строя еще 3 изделия. Необходимо вычислить p*(t) при t=60час. и t=65 час.; f*(t), *(t) при t =60 час.

Задача 1.13. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного оборудования, которые прошли предварительную 80-часовую приработку, получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в табл.1.2. Необходимо определить m_t*.

Таблица 1.2.

Задача 1.14. На испытание поставлено 8 однотипных изделий. Получены следующие значения ti (ti - время безотказной работы i-го изделия):

t1 =560час.; t2=700час.; t3 =800час.; t4=650час.; t5=580час.; t6=760час.; t7=920час.; t8=850час. Определить статистическую оценку среднего времени безотказной

работы изделия.

Задача1.15. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зарегистрировано 6 отказов. Время восстановления составило: t1 =15мин.; t2=20мин.; t3 =10мин.; t4=28мин.; t5=22мин.; t6=30мин.

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры .

Задача1.16. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=11000 час.

вышло из строя 410 изделий. Зв последующий интервал времени 11000-12000 час. вышло из строя еще 40 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=11000 час. и t=12000 час., а также f*(t), *(t) при t=11000 час.

ПРАКТИЧЕСКОЕ 3АНЯТИЕ № 2.

Аналитическое определение количественных характеристик надёжности изделия.

Теоретические сведения

Выпишем формулы, по которым определяются количественные характеристики надежности изделия

(2.1)

(2.2) (2.3)

(2.4)

(2.5)

где p(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t; q(t) - вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t; f(t)-частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия Т;

(t)- интенcивность отказов изделия; m_t - среднее время безотказной работы изделия.

Формулы (2.1) - (2.5) для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид

;	(2.6)
;	(2.7)
;	(2.8)
;	(2.9)
.	(2.10)

Формулы (2.1) - (2.5) для нормального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид

;	(2.11)
;	(2.12)
; ;	(2.13)
,	(2.14)

где Ф(U) - функция Лапласа, обладающая свойствами

Ф(0)=0 ; (2. 15)

Ф(-U) =-Ф(U) ; (2.16)

Ф()=0.5 . (2.17)

Значения функции Лапласа приведены в приложении П.7.13 [ 1 ] .

Значения функции (U) приведены в приложении П.7.17 [ 1 ].

Здесь m_t - среднее значение случайной величины Т; _t² - дисперсия случайной величины Т; Т- время безотказной работы изделия.

Формуды (2.1) - (2.5) для закона распределения Вейбулла времени безотказной работы изделия имеют вид

;	(2.18)
;	(2.19)
;	(2.20)
;	(2.21)
,	(2.22)

где a,k - параметры закона распределения Вейбулла. Г (x) - гамма-функция, значения которой приведены в приложении П.7.18 [ 1 ] .

Формулы (2.1) - (2.5) для закона распределвния Релея времени безотказной работы изделия имеют вид

;	(2.23)
;	(2.24)
;	(2.25)
;	(2.26)
,	(2.27)

где _t - мода распределения случайной величины Т; Т - время безотказной работы изделия.

Решение типовых задач.

Задача 2.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром =2.510^-5 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t),q(t),f(t),m_t для t=1000час.

Решение. Используем формулы (2.6), (2.7), (2.8), (2.10) для p(t),q(t),f(t),m_t .

1. Вычислим вероятность безотказной работы:

.

Используя данные таблицы П.7.14 [ 1 ] получим

.

2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем

q(1000)=1-p(1000)=0.0247 .

3. Вычислим частоту отказов

; 1/час.

4. Вычислим среднее время безотказной работы

час.

Задача 2. 2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами m_t =8000 час, _t =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t),f(t),(t),m_t для t=10000 час.

Решение. Воспользуемся формулами (2.11), (2.12), (2.13),(2.14) для p(t), f(t), (t),m_t.

1. Вычислим вероятность безотказной работы

p(t)=0.5Ф(U) ; U=(t-m_t)/_t ;

U=(10000-8000)/2000=1; Ф(1)=0.3413 ;

p(10000)=0.5-0.3413=0.1587. 2. Определим частоту отказа f(t)

.

Введем обозначение

.

Тогда

f(t)=(U)/_t ; U=(t-m_t)/_{t ;}

f(1000)=(1)/2000=0.242/2000=12.110^-5 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов (t)

(t)=f(t)/p(t);

(10000)=f(10000)/p(10000)=12.110^-5 /0.1587=76.410^-5 1/час.

4. Среднее время безотказной работы элемента

m_t = 8000 час.

Задача 2.3. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),m_t для t=1000час ,если параметр распределения _t=1000 час.

Решение. Воспользуемся формулами (2.23), (2.25), (2.27),(2.26) для p(t),f(t),

m_t ,(t).

1. Вычислим вероятность безотказной работы p(t)

2. Определим частоту отказа f(t)

f(t)=tp(t)/_t² ;

f(1000)=10000.606/1000²=0.60610^-3 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов

(t)= t/_t ² ;

(1000)=1000/1000² =10^-3 1/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия

час.

Задача 2.4. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k=1.5; a=10^-4 1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),m_t .

Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы p(t) по формуле (2.18) . Имеем

p(t)=exp(-at^k ); p(100)=exp(-10^-4 100^1.5 ); x=100^1.5 ;

lg x=1,5lg 100=3; x=1000; p(100)=e^-0,1 =0,9048.

2. Определим частоту отказов f(t)

f(t)=akt^k-1 p(t);

f(100)=10^-4 1,5100^0,5 0,90481,3510^-3 1/час.

3. Определим интенсивность отказов (t)

(t)=f(t)/p(t) ;

(100)=f(100)/p(100)=1,3510^-3 /0.90481,510^-3 1/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия m_t

.

Так как zГ(z)=Г(z+1), то

;

x=10^-2,666 ;lg x=-2,666lg10=-2,666= ; x=0,00215.

Используя приложение П.7.18 [1], получим

m _t =0,90167/0,00215=426 час.

Задача 2.5. В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде

.

Требуется определить количественные характеристики надежности: p(t), (t),m_t.

Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (2.1) имеем

Вычислим сумму С₁+ С₂ Так как , то

.

Тогда

2. Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по

формуле

.

3. Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На основании формулы (2.5) будем иметь

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 2.6.Вероятность безотказной работы автоматической линии изготовления цилиндров автомобильного двигателя в течении 120 час равна 0.9. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется рассчитать интенсивность отказов и частоту отказов линии для момента времени t =120 час., а также среднее время безотказной работы.

Задача 2.7. Среднее время безотказной работы автоматической системы управления равно 640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 час., частоту отказов для момента времени t=120 час и интенсивность отказов.

Задача 2.8. Время работы изделия подчинено нормальному закону с параметрами

m_t = 8000 час., _t =1000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t) , f(t) , (t) , m_t для t=8000 час.

Задача 2.9.Время безотказной работы прибора подчинено закону Релея с параметром _t= 1860 час. Требуется вычислить Р(t), f(t),(t) для t = 1000 час и среднее время безотказной работы прибора.

Задача 2.10. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников подчинено закону Вейбулла с параметрами к=2,6 ; а= 1,65*10^-7 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности Р(t), f(t), (t) для t=150 час. и среднее время безотказной работы шарикоподшипников.

Задача 2.11.Вероятность безотказной работы изделия в течение t=1000 час. Р(1000)=0,95. Время исправной работы подчинено закону Релея. Требуется определить количественные характеристики надежности f(t), (t), m_t.

Задача 2.12. Среднее время исправной работы изделия равно 1260 час. Время исправной работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные характеристики надежности P(t), f(t), (t) для t=1000 час.

Задача 2.13. В результате анализа данных об отказах изделия установлено, что частота отказов имеет вид f(t)=2e^-t (1-e^-t ) . Необходимо найти количественные характеристики надежности P(t), (t), m_t.

Задача 2.14. В результате анализа данных об отказах изделий установлено, что вероятность безотказной работы выражается формулой P(t)=3e^-t-3e^-2t+e^-3t.

Требуется найти количественные характеристики надежности P(t), (t), m_t.

Задача 2.15. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов прибора при t = 1300 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени безотказной работы m_t=1500 час. и среднее квадратическое отклонение _t= 100 час.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3.

Последовательное соединение элементов в систему.

Теоретические сведения

Соединение элементов называется последовательным, если отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно соединенных элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все ее элементы.

Вероятность безотказной работы системы за время t определяется формулой

P_c(t) =P₁(t)*P₂(t)...P_n(t)= (3.1) где Р_i(t) - вероятность безотказной работы i-го элемента за время t.

Если Р_i (t) =Р(t), то

P_c(t)=Pⁿ(t). (3.2)

Выразим Р_с(t) через интенсивность отказов _i(t) элементов системы.

Имеем:

(3. 3)

или

(3.4)

где

(3.5)

Здесь _i(t) - интенсивность отказов i-го элемента; _с(t) - интенсивность отказов системы.

Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t ) равна

(3.6)

Частота отказов системы f_c(t) определяется соотношением

(3.7)

Интенсивность отказов системы

(3.8)

Среднее время безотказной работы системы:

(3. 9)

В случае экспоненциального закона надежности всех элементов системы имеем

. (3.10)

; (3.11)

; (3.12)

; (3.13)

; (3.14)

; (3.15)

; (3.16)

, (3.17)

где m_ti - среднее время безотказной работы i - го элемента.

При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень и извлекать корни. При значениях Р(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам:

(3.18)

где q_i (t) -- вероятность отказа i - го элемента.

Решение типовых задач.

Задача 3.1. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна ₁=0,16*10^-3 1/час = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами

₂=0,23*10^-4t 1/час, ₃=0,06*10^-6t^2,6 1/час.

Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.

Решение. На основании формулы (3.3) имеем

Для t=100 час

.

Задача 3.2. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно : m_t1=160 час; m_t2 =320 час; m_t3 = 600 час.

Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.17) получим

Здесь _i - интенсивность отказов i -го блока. На основании формулы (3.11) имеем

1/час .

Здесь _c - интенсивность отказов системы.

На основании формулы (3.16) получим:

час .

Задача 3.3. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср=0,32*10^-6 1/час. Требуется определить P_c(t), q_c(t), f_c(t), m_tc, для t=50 час.

Здесь P_c(t) - вероятность безотказной работы системы в течение времени t ;

q_c(t) - вероятность отказа системы в течение времени t ;

f_c(t) - частота отказов или плотность вероятности времени T безотказной работы системы;

m_tс - среднее время безотказной работы системы.

Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (3.11) будет

_с = _ср*n = 0,32*10^-6*12600 = 4,032*10^-3 1/час .

Из (3.13) имеем

Р_с(t) = e^-ct ; Р_с(50) = e^{-4,032*0,001*50 0},82 .

Из (3.15) получим

q_c(t)= 1- P_c(t) = _cP_c(t); q_c(50)=1-P_c(50) 0,18 .

Из (3.14) имеем

f_c(t) = _ce^-ct = _cP_c(t); f_c(50) = 4,032*10^-3*0,82 = 3,28*10^-3 1/час.

Из (3.16) получим

m_tс=1/_c=1/4,032*10^-3250 час.

Задача 3.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 час равны: Р₁(100) = 0,95; Р₂(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы.

Решение. Найдем вероятность безотказной работы изделия:

Р_с(100)=Р₁(100)*Р₂(100)=0,95*0,97=0,92 .

Найдем интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой

Р_с(t)=e^-ct

или

Р_с(100)=0,92=e^-c100 .

По таблице П.7.14[1] имеем

_с*1000,083 или _с=0,83*10^-3 1/час .

Тогда

m_tс=1/_c=1/(0,83*10^-3)=1200 час.

Задача 3.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна P(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же элементов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы равна Р_c(t)= Pⁿ(t)=(0,9997)¹⁰⁰.

Вероятность Р_c(t) близка к единице, поэтому для ее вычисления воспользуемся формулой (3.18). В нашем случае q(t)=1-P(t)=1-0,9997=0,0003.

Тогда Р_c(t) 1-nq(t)=1-100*0,0003=0,97.

Задача.З.6.Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Р_c(t)=0,95. Система состоит из n= 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение. Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет

Так как Р(t) близка к единице, то вычисления Р(t) удобно выполнить по формуле (3.18).

В нашем случае q_c(t)=1- Р_c(t)=1-0,95=0,05.

Тогда

Задача 3.7. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср =0,32*10^-6 1/час.

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час.

Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (З.11) будет

_с=_ср*n=0,32*10^-6*12600=4,032*10^-3 1/час.

Тогда на основании (З.13)

Р_c(t)= е^-ct

или

Р_c(50)= е^{-4,032*0,001*50} 0,82.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.8. Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср= 0,33 * 10^-5 1/час.

Необходимо определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течении t = 200 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.

Задача 3.9. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 200000 элементов, средняя интенсивность отказов которых =0,2 * 10^-6 1/час . Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течении t = 24 часа и

среднее время безотказной работы электронной машины.

Задача 3.10. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср. = 0,16*10^-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течении t = 50 час и среднее время безотказной работы.

Задача 3.11. Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t , которая равна: P₁(t)=0,98; P₂(t)=0,99; P₃(t)=0,998; P₄(t)=0,975; P₅(t)=0,985. Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора.

Задача 3.12. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно: m_t1=83 час; m_t2=220 час; m_t3=280 час; m_t4=400 час; m_t5=700 час . Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.

Задача З.1З. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 час равна: P₁(50)=0,98; P₂(50)=0,99; P₃(50)=0,998; P₄(50)=0,975; P₅(50)=0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4

Расчет надежности системы с постоянным резервированием.

Теоретические сведения

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.... соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент

не отключается (рис .4.1.).

Вероятность отказа системы q_c(t) определяется формулой

(4.1)

где q_j(t) - вероятность отказа j - го элемента .

Вероятность безотказной работы системы

(4.2)

где Р_j(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента.

Если Р_j(t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то

(4.3)

При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем

(4.4)

Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования показана на рис.4.2. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m.

Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).

Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи

(4.5)

где Р_ij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Э_ij.

Вероятность отказа j - ой цепи

. (4.6)

Вероятность отказа системы с общим резервированием

. (4.7)

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

. (4.8)

Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.

Р_ij(t)=P_i(t) . (4.9)

Тогда

(4.10)

(4.11)

Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.

P_i(t)=e^-it . (4.12)

В этом случае формулы (5.10), (5.11) примут вид

q_c(t)=(1-e^-0t)^m+1, (4.13)

P_c(t)=1-(1-e^-0t)^m+1, (4.14)

, (4.15)

где ₀ - интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.

Частота отказов системы с о6щим резервированием

. (4.16)

Интенсивность отказов системы с общим резервированием

(4.17)

Среднее время безотказной работы резервированной системы

, (4.18)

где Т₀ = 1/₀ - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.

Решение типовых задач.

Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы m_tc, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.

Решение.

а)

,

где с - интенсивность отказов системы; _i - интенсивность отказов i - го элемента ; n = 10.

_i=1/m_ti = 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ; =_i;

_c=n=0,001*10=0,01 1/час;

m_tc=1/_c=100 час;

f_c(t)=_c(t) P_c(t);

_c(50)=_c; P_c(t)=e^-ct;

f_c(50)=_ce^-ct=0,01*e^{-0,01*506*10-3} 1/час;

_c(50)=0,01 1/час.

б) ; m=1 ; час ;

; ₀ =_c =0.01 1/час ;

;

;

;

f_c(50)4.810^-3 1/час ; _c(50)5.710^-3 1/час .

Задача 4.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала =10^-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Р_с(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t) системы.

Решение. В данном случае n=1; _i= ; ₀=n=;m=1. По формуле (4.14) имеем

Р_с(t)=1-(1-e^-t)²;

Р_с(10)=1-(1-e^-0,1)² .

Из приложения П.7.14 [1] получим

e^-0,1=0,9048 .

Тогда

Р_c(10)=1-(1-0,9048)² =1-0,0952^{21-0,01=0,99 .}

Определим m_tс. Из формулы (4.4) имеем

час .

Определим частоту отказов f_c(t). Получим

Определим интенсивность отказов _с(t). Имеем

3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна

P_c(t)=1-(1-e^-nt)²

или

P_c(t)=1-[1-Pⁿ(t)]²,

где

P(t)=e^-t .

Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть

1-[1-Pⁿ(t)]²0,9,

то

.

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t , получим

1-t1-6,32*10^-5

или

(6,32*10^-5)/t=(6,32*10^-5)/10=6,32*10^-6 1/час.

Задачи для самостоятельного решения.

3адача 4.4. Приемник состоит из трех. блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности отказов этих блоков соответственно равны: ₁= 4*10^-4 1/час; ₂= 2,5*10^-4 1/час; ₃= 3*10^-4 1/час. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при t=100 час для следующих случаев:

а) резерв отсутствует; б) имеется общее дублирование приемника в целом.

Задача 4.5. Для изображенной на рис.4.3. логической схемы системы определить P_c(t), m_tc, f_c(t), _c(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.

Задача 4.6. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов ( n = 3) применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика. Интенсивность отказов каскада равна =5*10^-4 1/час. Определить P_c(t), m_tc, f_c(t), _c(t) радиопередатчика с дублированием.

Задача 4. 7. Для изображенной на рис.4.4. логической схемы системы определить интенсивность отказов _с(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.

Задача 4.8. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I,II,III . Интенсивности отказов этих трех блоков соответственно равны: ₁, ₂, ₃. Требуется определить вероятность безотказной работы аппаратуры P_c(t) для следующих случаев:

а) резерв отсутствует;

б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в целом.

Задача 4.9.Схема расчета надежности изделия показана на рис.4.5. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Интенсивности отказов элементов имеют значения: ₁= 0,3*10^-3 1/час; ₂= 0,7*10^-3 1/час. Требуется найти вероятность безотказной работы изделия в течении времени t = 100 чаc, среднее время безотказной работы изделия, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=100 час.

Задача 4.10. В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика, применено общее дублирование. Передатчик и приемник имеют интенсивности отказов

_п=2*10^-3 1/час, _пр=1*10^-3 1/час, соответственно. Схема канала представлена на рис.4.6. Требуется определить вероятность безотказной работы канала Р_c(t), среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t).

Задача 4.11. Схема расчета надежности изделия приведена на рис.4.7. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Требуется определить интенсивность отказов изделия, если интенсивности отказов элементов имеют значения ₁, ₂.

Задача 4.12. Нерезервированная система управления состоит из n = 4000 элементов. Известна требуемая вероятность безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t = 100 час. Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование отсутствует ; б) применено общее ду6лирование .

Задача 4.13. Устройство обра6отки состоит из трех одинаковых блоков. Вероятность безотказной ра6оты устройства Р_y(t_i) в течение ( 0, t_i) должна быть не менее 0,9. Определить, какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока в течение ( 0, t_i )

для случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всего устройства в целом; в) имеется пассивное раздельное резервирование с неизменной нагрузкой по блокам.

Задача 4.14. Вычислитель состоит из двух блоков, соединенных последовательно и характеризующихся соответственно интенсивностями отказов ₁=120,54*10^-6 1/час и ₂=185,66*10^-6 1/час. Выполнено пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой

всей системы (блока 1 и 2) (см.рис.4.8) . Требуется определить вероятность безотказной работы Р_с (t) вычислителя, среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) вычислителя. Определить Р_с(t) при t = 20 час.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5

Резервирование замещением в режиме облегченного

( теплого) резерва и в режиме ненагруженного

(холодного) резерва.

Теоретические сведения.

В этом случае резервные элементы находятся в облегченном режиме до момента их включения в работу. Надежность резервного элемента в этом случав выше надежности основного элемента, так как резервные элементы находятся в режиме недогрузки до момента их включения в работу.

Вероятность отказа резервированной системы с облегченным резервированием определяется соотношением

(5.1)

где

(5.2)

Здесь ₁ - интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента включения его в работу ; ₀ - интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы; m - кратность резервирования или количество резервных элементов. Вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием определяется формулой

(5.3)

Определим среднее время безотказной работы системы с облегченным резервированием. Имеем

(5.4)

где

(5.5)

Определим частоту отказов f_c(t) системы с облегченным резервированием.

Имеем

(5.6).

Определим интенсивность отказов _с(t) системы с облегченным резервированием.

Получим

(5.7)

При ₁ =0 имеем режим ненагруженного (холодного) резерва. Вероятность отказа резервированной системы с ненагруженным резервированием определяется соотношением

(5.8)

Вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом определяется формулой

(5.9)

Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом. Имеем

(5.10)

Определим частоту отказов f_c(t) системы с ненагруженным резервом.

Имеем

(5.11)

Определим интенсивность отказов _с(t) системы с ненагруженным резервом.

Получим

(5. 12)

Решение типовых задач.

Задача 5.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы Р_с(t), среднее время безотказной работы системы m_tс, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с (t)

в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагруженный резерв).

Решение:

а)

где _с - интенсивность отказов системы, _i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10,

1/час ,

час ; p_c(t)= ;

f_c(t)=_c(t)p_c(t) ; _c(50)=_c ;

f_c(50)=_{c =0.01e}^-0.0150610-3 1/час ;

_c(50)=0.01 1/час .

б) m_tc= ; m=1 ;

m_tc= =200 час .

Определяем Р_c(t) по формуле

Так как ₀=_с , то

P_c(t)=e^-сt(1+_ct) .

Определяем fc(t). Имеем

Определяем _c (t) . Получим

_c(t)=

0пределяем P_c(50), f_c(50), _c(50).Имеем

p_c(50)=e^-0.0150(1+0.0150)=e^{-0.51.5=0.60651.50.91 ,}

f_c(50)=0.01^250e-0.0150=0.010.5e^-0.5310-3 1/час ,

_c(50)= 1/час .

Задача 5.2. Радиопередатчик имеет интенсивность отказов ₀=0,4*10^-3 1/час. Его дублирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного передатчика в режиме ожидания (в режиме облегченного резерва). В этом режиме интенсивность отказов передатчика

₁= 0,06*10^-3 1/час. Требуется вычислить вероятность безотказной работы передающей системы в течение времени t = 100 час., а также среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t).

Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя формулу (5.З), получим

;

; .

Тогда

(5.13)

Из (5.13) имеем

0.96[1+6.67-6.67(1-0.006)]0.998 .

Определим m_tс по формуле (5.4.). Получим

= 4668 час .

Определим f_c(t) . Имеем

=

Перепишем (5.13) в виде

Определим _с(t). Получим

Задача 5.3. Вероятность безотказной работы преобразователя постоянного тока в переменный в течении времени t=1000 час. равна 0,95, т. е. Р(1000) = 0,95. Для повышения надежности системы электроснабжения на объекте имеется такой же преобразователь, который включается в работу при отказе первого (режим ненагруженного резерва). Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднее время безотказной работы системы, состоящей из двух преобразователей, а также определить частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) системы.

Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя формулу (5.9), получим

(5.14)

Так как для отдельного преобразователя имеет место экспоненциальный закон надежности, то

, (5.15)

где Р(t)- вероятность безотказной работы преобразователя; ₀ - интенсивность отказов преобразователя в состоянии работы.

Из (5.15) имеем

P(1000)=e^-o1000 =0,95 .

Из приложения П.7.14 [1] получим

₀*1000=0,051,

откуда

₀=0,051/10000,5*10^-4 1/час.

Тогда из (5.14) имеем

P_c(1000)=0,95(1+0,05)=0,9975 .

Определим m_tc по формуле (5.10). Получим

m_tc = (m+1)/₀=2/₀=2/(0,5*10^-4) = 40000 час .

Отметим, что среднее время безотказной работы нерезервированного преобразователя равно

m_tc =1/₀=20000 час.

Определим частоту отказов f_c(t) по формуле (5.11). Имеем

Определим _с(t). Получим

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 5.4. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения ее надежности конструктор предложил дублирование системы по способу замещения с ненагруженным состоянием резерва (рис.5.1). Интенсивность отказов элемента равна . Требуется определить вероятность безотказной работы системы P_c(t), среднее время безотказной работы m_tc , частоту отказов f_c(t) , интенсивность отказов _с(t).

Задача 5.5. Схема расчета надежности изделия приведена на рис.5.2. Необходимо определить вероятность безотказной работы P_c(t), частоту отказов f_c(t) , интенсивность отказов _с(t) изделия. Найти _с(t) при t = 0.

Задача 5.6. Схема расчета надежности системы приведена на рис.5.3, где А,Б,В,Г - блоки системы. Определить вероятность безотказной работы P_c(t) системы.

Задача 5.7. Схема расчета надежности системы приведена на рис.5.4. Определить вероятность безотказной работы Pc(t) системы.

Задача 5.8. Передающее устройство состоит из одного работающего передатчика (=8*10^-3 1/час) и одного передатчика в облегченном резерве (₀ = 8*10^-4 1/час) . Требуется определить вероятность безотказной работы устройства P_c(t) , среднее время безотказной работы устройства m_tc. Определить Pc(t) при t = 20 час.

Задача 5.9. В радиопередающем канале связной системы используется основной передатчик П₁, два передатчика П₂ и П₃, находящиеся в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов основного работающего передатчика равна ₀=10^-3 1/час. С момента отказа передатчика П₁ в работу включается П₂, после отказа передатчика П₂ включается П₃. При включении резервного передатчика в работу его интенсивность отказов становится равной ₀.. Считая переключатель абсолютно надежным, определить вероятность безотказной работы

P_c(t) радиопередающего канала, среднее время безотказной работы m_tc канала. Определить также P_c(t) при t=100 час.

Задача 5.10. Устройство автоматического поиска неисправностей состоит из двух логических блоков. Среднее время безотказной работы этих блоков одинаково и для каждого из них равно m_t= 200 час. Требуется определить среднее время безотказной работы устройства m_tc для двух случаев: а) имеется ненагруженный резерв всего устройства; б) имеется ненагруженный резерв каждого блока.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6

Расчет надежности системы с поэлементным резервированием.

Теоретические сведения

При поэлементном резервировании резервируются отдельно элементы системы (рис.6.1.). Определим количественные характеристики надежности системы.

Запишем вероятность отказа i - ой группы. Имеем

; (6.1)

где q_ij(t) - вероятность отказа элемента Э_ij на интервале времени (0, t).

Запишем вероятность безотказной работы j-ой группы. Получим

; , (6.2)

где P_ij(t) - вероятность безотказной работы элемента Э_ij на интервале

времени (0,t); m_i - кратность резервирования элемента j-ой группы.

Запишем вероятность безотказной работы системы с поэлементным

резервированием

или

(6.3)

Для равнонадежных элементов системы и m_i=m=const имеем

P_ij(t)=P(t) ; (6.4)

P_c(t) =[1-[1-P(t)]^m+1]ⁿ . (6.5)

Если

P_ij(t)=P_i(t), (6.6)

то формула (6.З) примет вид

12
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• Далее ⇒