ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1
Задача 1. Определить силы в стержнях 1,2,3,4 фермы аналитическим способом. Графическим способом - только в стержнях 1,2. Данные для задачи своего варианта взять из табл.1 и схемы на рис.11.
Задача 2. Определить опорные реакции фермы и силы в стержнях 4,5,6 способом сечений. Данные своего варианта взять из задачи 1.
Задача 3. Определить опорные реакции двухопорных балок. Данные для задачи взять из таблицы 2 и схемы на рисунке 12 согласно своему варианту.
Задача 4. Определить опорные реакции консольных балок. Данные для задачи взять из таблицы 3 и схемы на рисунке 13 согласно своему варианту.
Задача 5. Определить положение центра тяжести плоских фигур геометрической формы и сечений, составленных из прокатных профилей. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 4 и рисунка 14.
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Таблица 1
| Схема на рис. 11 | Вариант | F1 | F2 | h1 | h2 | |
| кН | м | |||||
| I | 2,5 3,5 | - - - - | 2,5 2,5 | |||
| II | 0,5 0,7 1,0 | 2,0 2,0 2,0 | ||||
| III | 0,5 0,7 1,0 | 2,5 2,5 | 2,5 2,5 2,0 | |||
| IV | 2,0 2,5 3,0 | - - - | 2,5 2,0 3,5 | |||
| V | 1,0 1,5 1,2 | 2,5 2,5 2,0 | 2,5 3,0 3,5 | |||
| VI | 1,2 1,5 0,5 | 2,0 2,5 2,0 | 2,5 3,0 2,0 | |||
| VII | 1,2 1,0 9,7 | 2,5 2,5 3,0 | 3,0 2,0 2,5 | |||
| VIII | 2,5 2,0 3,0 | - - - | 3,5 2,0 2,5 | |||
| IX | 1,5 1,2 1,0 | 3,0 2,5 2,0 | 3,5 3,0 3,0 | |||
| X | 0,5 0,8 1,0 | 3,0 2,5 2,5 | 3,5 3,0 3,5 |
Таблица 2
| Схема на рис. 12 | Вариант | q | F | М | а1 | а2 | а3 | а4 | ||
| кН/м | кН | кНм | м | |||||||
| I | 0,7 1,2 0,4 0,2 | 0,8 0,5 1,4 0,4 | 0,4 1,0 0,6 0,6 | 0,6 0,4 0,8 0,2 | ||||||
| II | 1,0 0,8 1,4 | 1,2 1,0 1,2 | 0,8 1,6 0,8 | 1,2 0,6 1,0 | ||||||
| III | 1,2 0,6 1,4 | 0,8 1,4 1,0 | 1,2 1,0 0,8 | 0,8 1,2 0,6 | ||||||
| IV | 0,8 1,2 0,6 | 1,4 0,8 2,0 | 1,2 1,0 1,0 | 0,8 1,0 0,8 | ||||||
| V | 1,0 0,8 1,2 | 1,2 1,0 1,2 | 0,8 1,2 1,0 | 0,6 0,4 0,8 | ||||||
| VI | 0,6 0,6 0,8 | 1,4 2,0 1,6 | 1,2 1,0 1,0 | 1,0 0,8 0,6 | ||||||
| VII | 1,0 1,2 1,0 | 1,2 0,8 0,6 | 1,0 1,4 1,4 | 0,8 0,6 1,0 | ||||||
| VIII | 0,8 1,2 0,8 | 1,4 1,6 1,8 | 1,6 1,0 1,2 | 0,6 0,8 1,0 | ||||||
| IX | 1,0 1,2 1,0 | 1,8 1,6 1,4 | 1,2 1,0 1,6 | 0,8 0,6 1,2 | ||||||
| X | 0,8 1,2 1,4 | 1,2 0,8 1,6 | 1,8 1,8 1,0 | 1,0 1,2 0,8 | ||||||
Таблица 3
| Схема на рис. 13 | Вариант | q | F1 | F2 | М | а1 | а2 | а3 | ||
| кН/м | кН | кН м | м | |||||||
| I | 1,1 1,4 1,4 1,6 | 1,4 1,4 1,4 1,1 | 1,5 1,2 1,2 1,3 | |||||||
| II | 1,2 1,4 2,0 | 0,8 1,6 1,2 | 2,0 1,0 0,8 | |||||||
| III | 1,4 1,0 1,5 | 1,0 1,2 1,2 | 1,6 1,8 1,3 | |||||||
| IV | 1,0 0,6 1,2 | 1,1 0,8 0,6 | 0,6 1,2 1,0 | |||||||
| V | 1,0 0,8 0,6 | 1,4 1,2 0,8 | 0,6 0,4 1,2 | |||||||
| VI | 1,2 0,6 1,2 | 1,4 0,8 0,4 | 0,8 1,0 0,8 | |||||||
| VII | 1,0 1,2 1,0 | 1,2 0,8 0,6 | 1,0 1,4 1,4 | 0,8 0,6 1,0 | ||||||
| VIII | 1,2 1,0 1,2 | 1,0 0,6 0,6 | 0,8 1,2 0,8 | |||||||
| IX | 0,4 1,2 1,0 | 0,8 1,0 0,6 | 1,2 0,6 1,2 | |||||||
| X | 1,2 0,8 1,2 | 1,0 1,2 1,0 | 0,8 0,6 1,0 | |||||||
Таблица 4.
| Схема на рис. 14 | Вариант | а | b | h1 | h2 | h3 | Двутавр N0 | Швеллер N0 | Уголок N0 | Полоса, мм |
| cм | ||||||||||
| I | - - - - | 14/9 12,5/9 11/7 8/5 | 220х14 220х12 180х14 150х10 | |||||||
| II | 7/4,5 8/5 8/5 | 80х6 100х8 160х10 | ||||||||
| III | 4,5 | 100/8 120х8 160х10 | ||||||||
| IV | 14/9 8/5 9/5 | 300х14 240х12 220х12 | ||||||||
| V | - - - | 14/9 10/6,3 7/4,5 | 250х12 220х12 200х12 | |||||||
| VI | 10/6,3 12,5/8 10/6,3 | 220х14 200х12 160х12 | ||||||||
| VII | - - - | 7,5 | 240х14 240х10220х14 | |||||||
| VIII | - - - | 6,4/4 7/4,5 8/5 | - - - | |||||||
| IX | - - - | 10/6,3 11/7 8/5 | 220х10 200х10 160х10 | |||||||
| X | 4,5 | 220х10 100х8 120х8 |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 2
Решению задач данной контрольной работы (за исключением задачи 1) должно предшествовать изучение основ расчета по предельным состояниям. В расчет по предельному состоянию единый коэффициент запаса заменен с системой из нескольких коэффициентов, раздельно учитывающих условия возведения и работы конструкций, изменчивость нагрузок, изменчивость прочностных характеристик материалов.
Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с расчетом по несущей способности.
Основными параметрами сопротивления материалов силовым воздействием являются нормативные сопротивления Rn. За нормативное сопротивление пластичного материала принимают предел текучести, для хрупкого - предел прочности (их наименьшее значение по ГОСТу). Возможные отклонения сопротивлений материалов в неблагоприятную сторону от нормативных значений учитывается коэффициентом надежности γm по материалу. Значение его в расчетах по несущей способности принимается не менее 1,1.
Отношение Rn / γm = R называется расчетным сопротивлением. Оно и принимается при расчете конструкций.
Основными характеристиками нагрузок являются их нормативные величины (Fn; qn и другие). Возможны отклонения нагрузок в неблагоприятную сторону от их нормативных значений вследствие изменчивости нагрузок или отступлений от условий нормальной эксплуатации учитываются коэффициентом надежности по нагрузке γf, устанавливаемыми с учетом назначения зданий и сооружений и условия их эксплуатации.
В расчетах по несущей способности принимают расчетные нагрузки, получаемые путем умножения их нормативных значений на коэффициента надежности по нагрузке (Fp = Fn ∙ γf ; qp = qn ∙ γf ).
Особенности действительной работы конструкций, имеющие систематический характер, но не отражаемые в расчетах прямым путем, учитываются в необходимых случаях коэффициентами условий работы γc.
Коэффициент условий работы учитывает влияние температуры, влажности и агрессивности среды, длительности воздействия и т.д; приближенности расчетных схем и принятых в расчете предпосылок; перераспределение силовых факторов и видов нагружения.
Задача 1.Прежде, чем приступить к решению задачи 1, следует изучить тему 2.2. Цель задачи: а) определить продольную силу и нормальные напряжения в сечении ступенчатого бруса(стержня) при действии на него нескольких внешних сил; б) построить эпюры N и ,т.е графики изменение продольной силы N и нормального напряжения по длине бруса.
Рис. 15
Условие задачи. По оси стального ступенчатого бруса(рис.15,а) приложены силы F1 и F2, значения которых, а также площади поперечных сечений и длины участков указаны на рисунке. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материала стержня Е= 2 ∙10 5 МПа.
Решение. Верхний конец стержня (рис.15, a) жестко заделан. Нижний конец свободен. Прежде чем приступить к определению внутренних сил, разбиваем стержень на отдельные участки начиная со свободного конца. Границами участка являются сечения, в которых приложены внешние силы или в которых изменяются размеры поперечного сечения стержня. Рассмотрим брус по высоте. Первый участок АВ от точки приложения силы F1, т.е. от нижнего торца бруса до сечения, в котором происходит изменение его размеров. Второй участок ВС до сечения, в котором приложена сила F2. Третий участок СD от места приложения силы F2 до заделки.
Пользуясь методом сечений, определяем значение внутренних продольных сил в сечениях стержня. Поскольку нижний конец не закреплен, удобнее начинать именно с него, не определяя реакции заделки стержня.
Проводим сечение 1- 1 в пределах первого участка. Необходимо представить сечение 1-1 как бы скользящим, что позволяет просматривать участок на высоте стержня.
Мысленно отбросим верхнюю часть до сечения 1-1 (рис.15,б) и, рассматривая оставшуюся нижнюю часть в состоянии равновесия, составим уравнение проекций сил на ось Y: N1 – F2 = 0, откуда N1= F1 = =150 кН = 0,15 МН.
Продольная сила положительна, следовательно, на участке АВ имеет место растяжение.
Проводим сечение - на участке ВС стержня и отбросим верхнюю часть (рис.15, в). По аналогии с предыдущим записываем уравнение равновесия
N2 – F1 = 0 и находим из него N2 = 150 кН = 0,15 МН. Участок ВС также растянут.
Проводим сечение - на участке СD и, отбрасывая верхнюю часть стержня (рис.15, г), запишем уравнение равновесия нижней части: N3 + F2 –F1 = 0,
отсюда N3= F1 – F2 = 150 -200 = -50 кН = -0,05МН.
Продольная сил отрицательна, и, следовательно, третий участок стержня сжат.
Зная продольную силу на каждом из трех участков, определим значения нормальных напряжений, имея в виду, что А1=18 см2 = 0,0018м2;
А2 = 12 см2 = 0,0012 м2
(растяжение);
(растяжение);
(сжатие)
По найденным значениям N и s строим их эпюры (рис.15,д, е.).Для этого проводим две прямые (базовые линии), параллельные оси стержня. Каждой точке этой прямой соответствует определенное сечение стержня. Считая прямые за нулевые линии, откладываем вправо и влево от них соответственно положительные и отрицательные значения N и s. Знаки на эпюрах ставятся обязательно. Подписываем значение отложенных ординат. Эпюры штрихуют линиями, перпендикулярными нулевой линии. Длина штрихов выражает значение той или другой величины в соответствующем сечении стержня бруса.
Определяем полное удлинение стержня
∆l = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = 
Подставив числовые значения, получим
∆l = 
Задача 2. Цель задачи - научить подбирать сечение элементов конструкции, работающей на осевое растяжение или сжатие.
Условие задачи. Для стержней 1 и 2 фермы, рассмотренной в первой задаче первой контрольной работы, подобрать сечение из равнополочной уголковой стали, принимая Rст3 = 2 ∙ 10 МПа; γc = 0,9.
Решение. Воспользуемся формулой, характеризующей работу конструкции при осевом растяжении (сжатии);
N < γc A ∙ R,
откуда определяем требуемую площадь
где N - расчетная сила, возникающая в рассматриваемом элементе. Для простоты расчетов примем заданную нагрузку за расчетную и силы, найденные в задаче 1 контрольной работы 1, также будут расчетными N1=16 кН = 0,016МН, N2 =
= 19,8 кН = 0,0198 МН. Определение расчетных нагрузок рассмотрено в последующих задачах.
Определяем требуемую площадь сечения для стержня 1.
Определяем требуемую площадь для стержня 2.
По найденным А1 и А2 в графе "Площадь сечения" таблицы сортамента (см.приложение 1) подбираем наиболее близкое значение площади, а следовательно, и номер профиля. Принимаем для стержня1 равнополочный уголок 20х20х3 с площадью сечения А = 1,13 см2 , для стержня 2 - точно такой же.
Задача 3.Цель задачи - проверка степени усвоения понятия геометрических характеристик поперечного сечения при изгибе. Перед решением задачи следует повторить из теоретической механики учебный материал, касающийся определения центра тяжести сечений, составленных их простых геометрических фигур и сечений, составленных из прокатных профилей, определение статического момента площади сечения относительно произвольных осей координат.
Обращается внимание учащихся на различие геометрических характеристик поперечного сечения бруса при его растяжении (сжатии) и при изгибе. При растяжении (сжатии) площадь поперечного сечения бруса, являющаяся его геометрической характеристикой, определяет сопротивление элементов растяжению (сжатию). Объясняется это тем, что при осевом растяжении или сжатии нормальные напряжения в сечениях центрально растянутого (сжатого) бруса распределяются равномерно. При неравномерном распределении напряжений по сечению бруса или балки, например при изгибе, на их деформирование влияет не площадь поперечного сечения, а его форма и, кроме того, положение осей поперечного сечения к направлению действия внешних сил.
Поэтому при расчете балок на изгиб в сопротивлении материалов возникает необходимость принять геометрические характеристики поперечного сечения элемента, называемые осевыми моментами инерции Iх или Iy.
Порядок решения задач на определение момента инерции сечения плоских фигур следующий:
1. Разбить данную фигуру на простые составные части (прямоугольники, круги и т.д.). Если в состав фигуры входит стандартный прокатный профиль, то последний не разбивается на части; положение его центра тяжести и площадь определяются по таблицам сортамента (см.приложения). Простыми элементами в этом случае будут: двутавр, швеллер, уголки, полоса. Если фигура имеет отверстие, то площади и моменты инерции этих отверстий считают отрицательными.
2. Определить центр тяжести всей фигуры.
3. Через найденный центр тяжести сечения провести главные центральные оси. Для фигур, имеющих оси симметрии, главные оси совпадают с осями симметрии.
4. Через центра тяжести простых фигур провести собственные центральные оси инерции.
5. Определить расстояние между собственными главными осями каждой простой фигуры и главными центральными осями всего сечения. Нанести эти расстояния а на чертеж.
6. Определить моменты инерции составных частей относительно собственных осей I 0х, I 0y.
7. Определить момент инерции сечения относительно главных центральных осей, используя формулу перехода на центральные оси:
I = I 0 + а 2 ∙ А
Условие задачи. Найти главные центральные моменты инерции сечения, составленного из профилей стандартного проката. Исходные данный взять из примера б) контрольной работы 1 задачи 5 (б). Центр тяжести сечения должен быть найден и нанесен на чертеж сечения. Таким образом решение задачи 3 ведем с пункта 3 выше приведенного описания.
Решение. В составном сечении (рис.16) через найденный центр тяжести С проводим главные центральные оси инерции Х и Y. Ось Х совмещена с осью симметрии сечения. Проводим собственные центральные оси инерции Y01 , Y02 , Y03 , Y04 , Х03 , Х04 каждой из составных частей.
Определим расстояние между собственными и главными центральными осями инерции, используя абсциссы центров тяжести частей сечения, найденные при определении положения центра тяжести всего сечения (см.рис.10):
а1 = х1 – хc = 20 - 9,04 = 10,94 см;
а2 = хс –х2 = 9,04 - 2,07 = 6,97см;
а3 = хс +х3 = 9,04 + 2,65 = 11,69 см;
а4 = х4 - хс = 10 - 9,04 = 0,96 см.
;
а6 = у3 = 1,17см.
Рис. 16
Выпишем из таблиц сортамента(см. приложения 1-4) моменты инерции I 0 хi и I 0yi прокатных профилей относительно собственных осей и их площади: двутавр N 20 I 0x1 =1840 cм4; I 0y1 =115 см4; А1= 26,8 см2 ;
швеллер N 20 I 0x2 =1520 см4 ; I 0y2 =113 см 4 ; А2=23,4 см 2; уголок 80х50х6
I 0x3 =14,8 2 см 4 ; I 0y3 =49 см 4 ; А3 =7,55 см 2 .
Для уголка значения моментов инерции Ix и Iy поменялись местами, так как ориентация уголка(см. рис.16) не совпадает с его ориентацией в ГОСТе. При пользовании таблицами ГОСТов необходимо внимательно следить за правильностью выбора требуемых характеристик, ни в коем случае не основываясь на формальном совпадении индексов; полоса 12х200 I 0x4 = b ∙ h3 /12 = 20 ∙ 1,23 / 12 =
= 2, 88 см 4 ; I 0y4 = h ∙ b 3 /12 = 1,2 ∙ 20 3 /12 =800 см 4 ; А4 =24см 2.
Определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси Х:
Ix =I I x + III x + 2 ∙ I III x +2 ∙I IV x = I 0 x1 + I 0 x2 + 2 (I 0 x3 + а 26 А3) + 2 (I 0 x4 +
+ а25 А4)= 1840 + 1520 + 2 (14,8 + 1,172 ∙ 7.55) + 2 (2,88 +10,6 24) = 8895 см4.
определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси Y:
Iy = I I y + I II y +2∙ I III y +2 ∙I IV y = (I 0 y1 +а21 А1 ) + (I 0y2+а22 А2 )+2 (I 0 y3 +
+ а22 А3)+ 2 (I 0 y4 + а24 А4 )=115+10,96 2 ∙ 26,8 + 113 + 6,97 2 ∙23,4+2 (49+11,692 ∙ ∙7,55) + 2 (800+0,96 2 ∙24) = 8390 см 4 .