Задача 4.Для решения данных задач необходимо изучить тему 2.5 программы, научиться быстро и безошибочно строить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх.
Поперечная сила в рассматриваемом сечении численно равна алгебраической сумме проекций на ось, перпендикулярную оси балки всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения.
Если при определении поперечной силы рассматривается левая отсеченная часть балки, то внешние силы, направленные вверх, надо принимать со знаком плюс, а вниз- со знаком минус, при рассмотрении же правой отсеченной части- наоборот. Для построения эпюры Qy проводят нулевую линию под изображением балки. Тогда каждому сечению балки соответствует определенная точка этой линии. Положительные значения поперечных сил откладывают в принятом масштабе перпендикулярно нулевой линии вверх от нее, отрицательные- вниз. В сечениях с сосредоточенно приложенной силой на эпюре Qy возникает скачок (два значения- слева и справа от сечения), по абсолютному значению равный сосредоточенной силе.
Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести данного сечения. Моменты, вызывающие растяжение нижних волокон, считают положительными а верхних- отрицательными. Из этого правила знаков вытекает, что если моменты внешних сил стремятся повернуть левую отсеченную часть балки относительно центра рас-
сматриваемого сечения по часовой стрелке, то эти моменты надо брать со знаком плюс; при рассмотрении же правой части- наоборот. При построении эпюры Мх строителей принято: ординаты, выражающие в определенном масштабе значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. положительные - вниз, а отрицательные - вверх от оси балки. Два значения изгибающего момента появляются в сечениях, где приложен сосредоточенный
момент(пара сил).На эпюре соответственно возникает скачок, равный сосредоточенному моменту.
Большое внимание должно быть уделено изучению дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом, а также следствий, вытекающих из этих зависимостей, которые используют как при построении эпюр Q и М, так и для проверки уже построенных эпюр. Построенные эпюры Q и М заштриховывают прямыми линиями, перпендикулярными нулевой линии. Каждый штрих таким образом характеризует значение внутреннего силового фактора Qy и Мх, действующих в данном сечении балки. Знак на эпюре Qy ставится всегда, а на эпюре Мх знак можно не ставить, так как она всегда строится со стороны растянутых волокон.
Условие задачи. Построить эпюры внутренних силовых факторов (Qy и Мх) для балок, изображенных на рис. 17,а, 18,а.
Схемы балок взяты из примера к задачам 3 и 4 первой контрольной работы (см. рис.7 и 8),где были определены опорные реакции и выполнена проверка правильности их определения(первая стадия расчета балочных систем). На втором этапе выполняется построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх. Основываясь на расчете, выполненном в предыдущей контрольной работе, решение данной задачи следует начинать сразу со второго этапа.
Решение. Сначала построим эпюру Qy.
Из теоретического курса известно, что на участке балки с равномерно распределенной нагрузкой эпюра Qy ограничивается наклонной прямой, а на участке, на котором нет распределенной нагрузки,- прямой, параллельной оси, поэтому для построения эпюры поперечных сил достаточно определить значения Qy в начале и в конце каждого участка. В сечении, соответствующем точке приложения сосредоточенной силы, поперечная сила должна быть вычислена чуть левее этой точки(на бесконечно близком расстоянии от нее) и чуть правее ее; поперечные силы в таких местах обозначаются соответственно Qулев. и Qyправ..
Строим эпюру Qу методом характерных точек, ходом слева.
а) Для двухопорной балки такими точками будут С и D - начало и конец распределенной нагрузки, а также А и В- точки приложения опорных реакций,
Е- точка приложения сосредоточенной силы. Проведем мысленно ось Y перпендикулярно оси балки через точку С и не будем менять ее ,положения, пока не пройдем всю балку от С до Е. Рассматривая левые отсеченные по характерным точкам части балки, проецируем на ось Y действующие на данном участке силы с соответствующими знаками. В результате получаем
Qc = 0;
QлевА = -q ∙ a = -10 0,5 = -5 кН;
Qправ.А = Qлев.А + VА = -5+13,3 = 8,3 кН;
QD = VА - q (a+b) = 13,3-10 (0,5+2,5) = -16,7 кН;
Qлевв = Q0 = -16,7кН;
Qправ.В = Qлев.В + Vв = -16,7+31,7= 15 кН;
Qлев.Е = Qправ.В =15 кН.
Для проверки правильности определения поперечной силы в сечениях пройдите балку аналогичным образом, но с правого конца. Тогда отсеченными будут правые части балки. Помните, что правило знаков при этом изменится. Результат должен получиться тот же.
Совпадение результатов может служить контролем построения эпюры Qy. Проводим нулевую линию под изображением балки и от нее в принятом масштабе откладываем найденные значения поперечных сил с учетом знаков в соответствующих точках. Получим эпюру Qy (рис.17,б).
Рис. 17
б) Для консольной балки (рис. 18,а) характерные точки: А- точка приложения опорной реакции VА ; С- точка приложения сосредоточенной силы, D,В- начало и конец распределенной нагрузки. Для консоли поперечная сила определяется аналогично двухопорной балки. Итак, при ходе слева:
Qлев.А = VА = 10 кН;
Q лев.с = QА = 10 кН;
Q прав.с = VА - F = 10 - 8 = 2 кН;
QD = Qправ. с = 2 кН;
Qв = QD – q ∙ с = 2 -2 ∙ 1 = 2 - 2 = 0.
Строим эпюру Qy по полученным значениям поперечных сил (рис.18,б). Построив эпюру, обратите на следующее: эпюра под распределенной нагрузкой изображается наклонной прямой, под ненагруженными участками- отрезками, параллельными нулевой линии, под сосредоточенной силой на эпюре образуется скачок, равный значению силы. Если наклонная линия под распределенной нагрузкой пересекает нулевую линию, отметьте эту точку, она пригодится для эпюры изгибающих моментов. Сосредоточенный момент на эпюре Qy себя никак не
проявляет, так как сумма проекций сил, образующих пару, равна нулю.
Строим эпюру изгибающих моментов, как и поперечных сил, методом характерных точек, ходом слева.
Известно, что на участке балки с равномерно распределенной нагрузкой эпюра изгибающих моментов очерчивается кривой линией(квадратичной параболой), для построения которой надо иметь не менее трех точек и, следовательно, должны быть вычислены значения изгибающих моментов в начале участка, конце его и в одном промежуточном сечении.
Такой промежуточной точкой лучше всего взять сечение, в котором эпюра Qy пересекает нулевую линию, т.е. где Qy = 0. Если же эпюра Qy не пересекает нулевую линию, то эпюру М можно строить по двум точкам(начала и конца действия распределенной нагрузки), помня, что выпуклостью парабола всегда обращена вниз, если нагрузка действует сверху вниз. Существует старое правило "дождя," которое очень помогает при построении параболической части эпюры М. Для строителей это правило выглядит следующим образом: представьте, что распределенная нагрузка - это дождь, подставьте под него зонт в перевернутом виде, так чтобы дождь не стекал, а собирался в нем. Тогда выпуклость зонта будет обращена вниз. Точно так и будет выглядеть очертание эпюры моментов под распределенной нагрузкой.
Если требуется более точное построение эпюры, то должны быть вычислены значения изгибающих моментов в нескольких промежуточных сечениях. Условимся для каждого такого участка изгибающий момент сначала определить в произвольном сечении, выражая его через расстояние х от какой-либо точки. Затем, давая расстоянию х ряд значений, получим значение изгибающих моментов в соотствующих сечениях участка. Для участков, на которых нет распределенной нагрузки, изгибающие моменты определяют в двух сечениях, соответствующих началу и концу участка, так как эпюра Мх на таких участках ограничивается прямой. Если к балке приложен внешний сосредоточенный момент, то обязательно надо вычислить изгибающий момент чуть левее и чуть правее места приложения сосредоточенного момента.
а) Для двухопорной балки характерные точки следующие: C и D - начало и конец распределенной нагрузки; А - опора балки; В - вторая опора балки и точка приложения сосредоточенного момента; Е - правый конец балки; точка К, соответствующая сечению балки, в котором Qy = 0.
Ход слева. Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем. Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки.
Итак, Мс=0;
МА = - q ∙ а ∙ а /2 = -10 0,5 0,25 = -1,25кН ∙ м.
Прежде чем определить момент в сечении К, необходимо найти расстояние х=АК. Составим выражение для поперечной силы в данном сечении и приравняем его к нулю (ход слева)
Qк = - q ∙ а + VА - q∙ х = 0,
откуда
х = (-q ∙ а + VА ) /q = (-10 ∙ 0,5 + 13,3) / 10= 0,83 м.
Это расстояние можно найти также из подобия треугольников KLN и KIG на эпюре Qy (рис.17б).
Определяем момент в точке К
Мк = -q (а + х )2 / 2 + VА ∙ х = - 10(0,5+0,83)2 /2+13,3 ∙ 0,83=2,2 кН ∙ м;
МD = VА ∙ b –Q (а+b)2 /2=13,3 2,5 -30(0,5+2,5)2 /2= -11,7 кН ∙ м.
Пройдем оставшуюся часть балки ходом справа, учитывая при этом изменения в правиле знаков:
МЕ = 0;
Мправ. в = -F∙ d = -15 ∙1,0 = -15 кН м;
Млев. в = Мправ. в - М = -15 -5 = - 20 кН м;
МD = - F (с+ d) - М +VВ ∙ с = -15 (0,5 + 1,0)-5+13,7 ∙ 0,5 = -11,7 кН ∙ м.
Как видим, момент в сечении D при ходе слева и справа получился одинаковый - эпюра замкнулась. По найденным значениям строим эпюру. Положительны значения откладываем вниз от нулевой линии, а отрицательные - вверх (см.рис.17, в).
б) Для консольной балки эпюра изгибающих моментов строится аналогично предыдущему построению.
Характерные точки для этой балки (см. рис. 18, а) следующие: А - опора; С - точка приложения сосредоточенного момента и силы F; D и В - начало и конец действия равномерно распределенной нагрузки. Поскольку эпюра Qy на участке действия распределенной нагрузки нулевую линию не пересекает, эпюру моментов на данном участке можно строить по двум точкам D и В.
Ход слева:
МА = -МА = -17кН ∙ м;
Млев. с= -МА + VА∙ а = - 17+10 ∙ 0,5 = -12 кН ∙ м;
Мправ. с = -МА + VА ∙ а + М = -17 + 10 ∙ 0,5 + 10 = -2 кН ∙ м;
МD = -М + VА (а+b) + М -F∙ b = -17+10 (0,5+0,5)+10-8 ∙ 0,5= -1 кН ∙ м.
Ход с права находим Мв = 0.
По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов (см.рис.18,б).
Рис. 18
Задача 5. Проверка несущей способности элементов конструкций - расчет, часто встречающийся в практике строителей. Для элементов конструкций, работающих на поперечный изгиб, проверка несущей способности по заданным размерам поперечного сечения осуществляется исходя из условия
М расчmax < γс R W,
где М расчmax - максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок снимается с эпюры моментов.
Условие задачи. Проверить несущую способность консольной балки. Материал - дерево. Расчетное сопротивление R= 15 МПа. Сечение бруса 15х30 см, коэффициент надежности по нагрузке γf =1,2, коэффициент условия работы γc =1,1 (рис.19,а).
Рис. 19
Решение. Начнем расчет с определения левой части неравенства. Для этого:
1. Определяем расчетную нагрузку
qр = qп ∙ γf = 10 ∙1,2 = 12 кН/м;
Fq = qр ∙ b = 14,4 кН;
Fp = F∙ γf = 25 ∙1,2 = 30 кН.
Подсчитав расчетную нагрузку, составляем расчетную схему балки (рис.19,б).
2. Ввиду того что балка консольного типа, можно, не определяя опорных реакций, сразу перейти к определению внутренних силовых факторов. Сначала определим поперечную силу и построим её эпюру. Рассматриваем балку ходом со свободного конца по характерным точкам:
Qв = Fp = 30 кН.
Qс = Fp + Fq = 30 + 14,4 = 44,4 кН;
Qправ.А = Qc = 44,4 кН.
По найденным значениям строим эпюру Qy (рис.19,в).
Поскольку эпюра поперечных сил не пересекает нулевую линию, эпюру моментов на этом участке можно строить по двум точкам: начала и конца действия распределенной нагрузки.
Ход справа:
Мв = 0;
Мс = -Fp ∙ b – Fq ∙ (b/2) = -30 ∙ 1,2 -14,4 ∙ 0,6 = 44,6 кН ∙ м;
МA = -Fp ∙ (а+b) - Fq ∙ (b/2 + a) = -30 ∙ 2,0-14,4 (0,8+0,6)= -80,16 кН ∙ м =
МН ∙ м.
Изгибающий момент Мmax = 80,16 кН ∙ м возникает в опорном сечении (см.рис.19,г). Переходим к определению правой части неравенства.
3. Определяем момент сопротивления Wx заданного сечения. Для прямоугольного сечения
4. Подставляя все данные в неравенство, получаем, что расчетный изгибающий момент Мmax = 0,08 > 1,1 ∙ 15 ∙ 0,00225 = 0,037.
Отсюда следует, что несущая способность балки не обеспечена, необходимо уменьшить нагрузку либо взять балку большего поперечного сечения.
Задача 6. Условие задачи. Для двухопорной балки (рис.20, а) подобрать сечение двутавра из условия прочности и жесткости. R=210 МПа, Rср=130 МПа,
γf =1,3; γc = 1,1. Модуль упругости Е = 2,1∙ 105 МПа.
Рис. 20
Предельно допустимый прогиб f пред./ l = 1 / 400. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений для сечений с наибольшим изгибающим моментом и с наибольшей поперечной силой.
Решение.
1. Подбор сечения из условия прочности.
Расчетная нагрузка
qр = qn ∙ γf = 10 ∙ 1,3 = 13 кН/м;
Fр = Fn ∙ γf = 15 ∙ 1,3 = 19,5 кН.
Схема балки с расчетной нагрузкой изображена на рисунке 20,б. Для рассматриваемой балки наибольший изгибающий момент в сечении посередине пролета. Определяем его как сумму моментов от действия равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузок, используя готовые формулы
Строим эпюру моментов по трем точкам
МА = 0; Мс = 65 кН ∙ м; Мв = 0 (рис.20,в).
Из условия прочности при изгибе
s = 
определяем Wтр - требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки
Wтр 
По таблице сортамента принимаем двутавр N 24 Wx = 289 см3 (см.приложение 3).
2. Подбор сечения из условия жесткости производим с помощью таблицы прогибов (см. приложение 5).
Второе предельное состояние конструкции характеризуется появлением чрезмерных прогибов и требует определенной жесткости, чтобы в условиях нормальной эксплуатации относительный прогиб f / l не превышал предельно допустимого относительно прогиба fпред. / l, установленного строительными нормами (СНиП) для различных конструкций и материалов.
Условие жесткости записывается в виде
Расчет на жесткость производят по нормативной нагрузке, а не по расчетной, т.е. без учета коэффициента надежности по нагрузке.
Из таблицы приложения 5 для заданного загружения балки наибольший по абсолютной величине прогиб определяется по формуле
В результате
Отсюда выражаем требуемый момент инерции сечения
Подставляя числовые значения, получим
Из таблицы сортамента подбираем двутавр N 36 Ix = 13380 см4 Принятый из условия прочности двутавр N 24 имеет Ix =3460 см4 ,что недостаточно по условию жесткости. Таким образом, в данном случае решающим условием при подборе сечения является условие жесткости.
Окончательно принимаем двутавр N 36.
3. Определим наибольшее нормальное напряжение в сечении балки с максимальным изгибающим моментом. Из расчета Мmax=0.065МН ∙ м
так как для двутавра N 36 Wx = 743 см3 = 0,000743 м3 (см.приложение 3).
Из теории известно, что наибольшие нормальные напряжения при поперечном изгибе возникают в крайних волокнах сечения. В нейтральном слое напряжение равно нулю. Строим эпюру нормальных напряжений.Для этого в произвольном масштабе изображаем сечение двутавра. Параллельно вертикальной оси двутавра проводим нулевую линию и откладываем от нее по разные стороны на уровне крайних волокон max и min. Соединим эти точки прямой линией. Эпюра нормальных напряжений построена (рис. 20,д).
4.Построим эпюру поперечных сил. Для этого необходимо сначала определить опорные реакции. Для данной балки ввиду симметрии нагрузки опорные реакции равны между собой
Определяем поперечную силу.
Ход слева
QA = VA = 42,25 кН;
Qлев c = VА – q ∙ l/2 = 42,5 -13 ∙ 2,5 = 9,75 кН;
Qправ c = VА - q ∙ l/2 - F = 9,75 - 19,5 = -9,75 кН.
Ход справа
Qв = -Vв = -42,25 кН.
По найденным значениям строим эпюру Qy (рис. 20, г).
5. Определяем наибольшие касательные напряжения. Для этого с эпюры поперечных сил выбираем сечение, где Qmax = 42,25 кН = 0,00423МН.
Наибольшее касательное напряжение по высоте сечения возникает на уровне нейтральной оси и определяется по формуле Журавского
t max = Qmax ∙ Sx / (Ix ∙ b).
Sx -статический момент полусечения, расположенного выше или ниже нейтральной оси; b = d - толщина стенки двутавра; Ix, Sx, d берем из таблиц сортамента (см. приложение 3) для двутавра N 36: Sx = 423 см3 = 423∙10-6 м3; Ix = 13380 см4 = 13380 ∙10-8 м4; b = d = 7,5 мм =0,0075м.
Подставив значения величин в формулу, получим
Строим эпюру касательных напряжений. От нулевой линии на уровне нейтральной оси откладываем tmax (рис. 20,д).Зная характер эпюры даем ее полное изображение.
Из условия прочности по касательным напряжениям
tmax =17,8 МПа ≤ γc ∙ Rср = 1,1 ∙ 130 МПа.
6.Большой запас прочности по касательным и нормальным напряжениям
smax = 87,5 МПа ≤ γc ∙R = 1,1 ∙ 210 МПа
можно объяснить тем, что сечение балки подбиралось из условия жесткости.
Задача 7. К решению задачи можно приступить после того, как будет изучена тема 2,7. На практике очень часто приходится решать задачу об устойчивости сжатых стержней. Если прямолинейный стержень сжимать силами, действующими по оси, то он будет укорачиваться, сохраняя при этом свою прямолинейную форму. При некоторых условиях прямолинейная форма равновесия может оказаться неустойчивой, а стержень начнет искривляться (выпучиваться). это явление называют продольным изгибом и наступает оно тем скорее, чем больше длина стержня по сравнению с размерами его поперечного сечения.
Условие задачи. Подобрать сечение равноустойчивой центрально сжатой сквозной колонны, изготовленной из стали марки Ст3 и составленной из двух швеллеров, соединенных приваренными к ним планками. Для колонны условия закрепления ее концов и сжимающая сила указаны на рис. 21,а, поперечное сечение - на рис. 21, б.
Рис.21
Расчет выполнить по предельным состояниям, приняв нагрузку F нормативной (Fn ) и состоящей из 25% постоянной (Fng = 0,25 F n) и 75% временной (Fnp =0,75 ∙ Fn ) нагрузок. Считать коэффициенты надежности по нагрузке для постоянной нагрузки γf =1,1, для временной γf= 1,2; коэффициент условий работы
γc =0,95; расчетное сопротивление стали R = 210 МПа.
Решение. Вычисляем расчетную продольную силу Np = Fng ∙ γf +Fnp ∙ γf = 0,25∙ 0,51∙1,1 + 0,75∙0,51 ∙1,2 = 0,599 МН.
Расчет относительно материальной оси.
Из условия устойчивости
задавшись для первого приближения коэффициентом продольного изгиба φ= 0,75, находим требуемую площадь сечения колонны
По сортаменту подбираем два швеллера N 16а с площадью А=2 ∙ 19,5=39 см2 = = 39∙10-4 м2 и радиусом инерции ix=6,49 см.
Соответствующая гибкость колонны
Коэффициент по интерполяции (см.приложение 6);
Проверяем напряжение
Получили недонапряжение.
Подбираем два швеллера N 16; А=2 ∙18,1=36,2 см2 =36,2 ∙10-4 м2; i x = 6,42 см
Соответствующая гибкость колонны
Коэффициент по интерполяции
Напряжение
Итак, принимаем сечение из двух швеллеров N16.
Расчет на устойчивость сквозной колонны относительно свободной оси Y сводится к определению расстояния b между швеллерами (см.рис.21,б). При этом в расчет вводится не гибкость lу = l расч/iy, а так называемая приведенная гибкость lпр, которая вследствие деформирования соединительных планок больше и для рассматриваемого случая определяется по формуле
гибкость участка ветви (швеллера), заключенного между планками, относительно собственной оси Yо; она принимается в пределах 30...40.
Расстояние b между ветвями колонны определим из условия равноустойчивости в двух плоскостях: lпр = l х.
Тогда требуемая гибкость относительно свободной оси
Требуемый радиус инерции сечения
Требуемый момент инерции
I mpy = A ∙ i 2 mpy = 2 A шв. ∙ i 2 mpy = 2 ∙ 18,1 ∙ 7,212 = 1876,6 cм 4
С другой стороны,
Iy = 2 (I 0у шв + А шв ∙ а 2) = 2 (63,3 + 18,1 ∙ а 2)
Приравниваем правые части обоих равенств
2 (63,3 + 18,1 ∙ а 2) = 1876,6 или 63,3 + 18,1 ∙ а2 = 938,3,
откуда
Из рис.21,б видно, что b = 2 (а – z0 ) = 2 (7 - 1,8 )=10,4 см.