Значениям признака, а представлена произведением значения признака на
частоту. Средняя гармоническая как вид степенной средней выглядит
следующим образом:
30
1 1
1
− =
− Σ
=
N
x
n
i
i x
;
В зависимости от формы представления исходных данных средняя
гармоническая может быть рассчитана как простая и как взвешенная.
Если исходные данные несгруппированны, то применяется средняя
гармоническая простая:
Σ=
= n
i i x
x N
1
1
;
К ней прибегают в случаях определения, например, средних затрат
труда, материалов и т. д. на единицу продукции по нескольким
предприятиям.
Рассмотрим пример использования средней гармонической простой:
Три предприятия производят микроволновые печи. Себестоимость их
производства на 1-ом предприятии составила 4000руб., на 2-ом -
3000руб., на 3-ем – 5000руб. Необходимо определить среднюю
себестоимость производства микроволновой печи при условии, что на
каждом предприятии общие затраты на ее изготовление составляют 600тыс.
руб.
Применять среднюю арифметическую в данном случае нельзя, так как
предприятия выпускают разное количество микроволновых печей: первое –
150шт. (600000/4000); второе – 200шт. (600000/3000); третье – 120шт.
(600000/5000).
Среднюю себестоимость микроволновой печи можно получить, если
общие затраты трех предприятий разделить на общий выпуск:
х = 150 200 120
600 600 600
+ +
+ + =3,830руб.
К аналогичному результату можно прийти, используя формулу средней
гармонической простой:
х =
5000
1
3000
1
4000
1
1 1 1
+ +
+ + =3,830руб.
При работе со сгруппированными данными используется средняя
гармоническая взвешенная:
31
Σ
Σ
=
= = m
i i
i
m
i
i
x
w
w
x
1
1 ,
где − i w статистический вес; i i i w = x ⋅ n .
Если в предыдущем примере принять, что на предприятиях было
произведено разное количество печей при разных общих затратах, то для
определения средней себестоимости следует использовать формулу средней
гармонической взвешенной. Пусть на первом предприятии общие затраты на
производство микроволновых печей составили 600тыс. руб., на втором –
660тыс. руб., на третьем -500тыс. руб.; произведено было соответственно
150, 220 и 100 единиц продукции. Средняя себестоимость одной
микроволновой печи составила:
х =
5
500
3
660
4
600
600 660 500
+ +
+ + =4,757тыс. руб.ΣΣ
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда общий
объем усредняемого признака является мультипликативной величиной,
т.е. определяется не суммированием, а умножением индивидуальных
значений признака.
n
n
i
i
n
геом n x х х х х Π=
= × × × =
1
1 2 ... .
Форма средней геометрической взвешенной в практических расчётах
не применяется.
В социально-экономических исследованиях средняя геометрическая
применяется в анализе рядов динамики при определении среднего
коэффициента роста, когда задана последовательность относительных
величин динамики.
Рассмотрим пример:
В результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза по
сравнению к предыдущему году, а за второй ещё в 1,5 раза по сравнению к
предыдущему. Необходимо определить средний коэффициент роста цены.
За два года цена возросла в 3 раза (2·1,5). Если использовать среднюю
арифметическую, то средний коэффициент роста составит 1,75
2
2 1,5
=
+ раза; за
два года цена при таком среднем коэффициенте роста должна составить
32
1,75·1,75=3,0625 раза, что выше реального на 0,625 или на 6,25%; В
действительности средний коэффициент роста следует определить по
формуле средней геометрической:
геом х = 2×1,5 = 1,73.
Средняя геометрическая используется также для определения
равноудаленной величины от максимального и минимального значения
признака. Например, страховая фирма заключает договоры страхования
имущества граждан. В зависимости от вида имущества, его состояния,
категории фирмы, конкретного рискового случая и т. д. страховая сумма
может изменяться от 3тыс руб. до 1млн. руб. Средняя сумма по страховке
составит:
х 3 1000 54,772тыс._ руб. геом = × =
Средняя квадратическая используется в тех случаях, когда при