Свойства преобразования Лапласа
Линейность
Если 
, то 
.
Т.е. сумма нескольких функций, умноженных на постоянные, равна сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные.
Подобие
Если 
то 
.
Т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число 
приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на тоже число.
Запаздывание (оригинала)
Если 
и 
то 
.
Т.е. запаздывание оригинала на время 
соответствует умножение изображения на 
.
Смещение (изображения)
Если , то 
.
Т.е. умножение оригинала на множитель 
приводит к изменению аргумента изображения на величину 
.
Дифференцирование оригинала
Если функция 
раз непрерывно дифференцируемая на промежутке 
функция и 
является оригиналом, то из соответствия 
следует 
.
Дифференцирование изображения
Если 
.
Свертка оригиналов (умножение изображений).
Если , 
-показатели роста функции 
.
Т.е. свертывание функций в пространстве оригиналов соответствует умножению функций в пространстве изображений.
Таблица оригиналов и изображений
| № | 
| 
|
| 1. | 
| |
| 2. | 
| 
|
| 3. | 
| 
|
| 4. | 
| 
|
| 5. | 
| 
|
| 6. | 
| 
|
| 7. | 
| 
|
| 8. | 
| 
|
| 9. | 
| 
|
| 10. | 
| 
|
| 11. | 
| 
|
| 12. | 
| 
|
| 13. | 
| 
|
| 14. | 
| 
|
| 15. | 
| 
|
Пример выполнения задания 1
Пользуясь преобразованием Лапласа и основными свойствами преобразования Лапласа, найдём изображение функции
.
Решение
Используя свойства линейности, подобия, теорему дифференцирования изображения, найдем изображения функций:
;
.
Воспользуемся формулой таблицы оригиналов и изображений:
, 
, 
.
Получаем: 
.
Пример выполнения задания 2
По известному изображению 
найдём функцию-оригинал.
Решение.
Для нахождения оригинала представим его изображение в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами.
Разложение имеет вид:
.
Неопределенные коэффициенты найдем из тождества
Приравняем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях 
и 
.
Получим систему: 
Решая данную систему, получим 
.
примет вид:
.
Преобразуем первое слагаемое, выделив в знаменателе полный квадрат суммы
Из таблицы преобразований Лапласа, применяя свойство линейности, имеем 
Пример выполнения задания 3
Решим операторным методом линейное дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях.
.
Решение.
Найдем операторное уравнение. Применим преобразование Лапласа к обеим частям заданного уравнения.
По теореме о дифференцировании имеем: если 
, то
,
,
.
После подстановки полученных изображений в исходное уравнение, получим операторное уравнение 
.
После преобразований: 
,
.
Разрешая это операторное уравнение относительно 
, получим: 
.
Это и есть изображение искомого решения 
.
Для нахождения оригинала представим его изображение в виде дробей и вводя неопределенные коэффициенты, получаем:
.
Неопределенные коэффициенты найдем из тождества
.
Пусть 
, тогда 
.
Приравняем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях 
и свободных членах:
Решая данную систему, получим 
.
примет вид: 
.
Применив соответствующие формулы таблицы оригиналов и изображений, получим 
, или 
- это решение заданного уравнения.
Пример выполнения задания 4
Решим систему дифференциальных уравнений
Решение.
Пусть 
составляют искомое решение и пусть 
Применяя прямое преобразование Лапласа, получим операторные уравнения, системы дифференциальных уравнений.
,
,
, 
.
Система дифференциальных уравнений обращается в систему операторных уравнений:
или 
Решаем данную систему по формулам Крамера относительно изображений 
:
, 
.
,
,
.
,
.
,
Переходя к оригиналам, получим искомое решение:
Модуль 10
Теория вероятностей
Задачи для решения
Задание 1
Непосредственный подсчет вероятностей событий
Варианты
1. В партии из 15 деталей имеется 10 стандартных. Наудачу
отобраны 5 деталей. Найти вероятность того, что среди
отобранных деталей 4 стандартных.
2. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным
номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность
того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
3. На складе имеется 12 кинескопов, причем 10 из них
изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того,
что среди наудачу взятых 5 кинескопов окажутся 3
кинескопа Львовского завода.
4. В группе 20 студентов, среди которых 3 отличника. По
списку наудачу отобраны 12 студентов. Найти вероятность
того, что среди отобранных студентов окажутся 2 отличника.
5. В коробке имеется 15 одинаковых изделий, причем 3 из них
окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность
того, что среди извлеченных изделий одно окрашено.
6. На объект производится налет девяти однотипных
самолетов, из которых 2 являются носителями специального
оружия. Силами ПВО сбито 5 самолетов. Найти вероятность
того, что сбиты оба носителя специального оружия.
7. Из урны, в которой находится 5 белых и 4 черных шара,
наудачу вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба
вынутых шара разноцветные.
8. Из 10 лотерейных билетов 3 являются выигрышными. Найти
вероятность того, что среди 5 наудачу выбранных билетов
один билет является выигрышным.
9. Среди 7 винтовок 2 являются непристреленными. Найти
вероятность того, что среди 3 наудачу выбранных винтовок,
одна окажется непристреленной.
10. Среди 12 часов, 8 штук нуждаются только в общей чистке.
Найти вероятность того, что из 6 наудачу выбранных часов,
3 будут нуждаться только в общей чистке.
Задание 2
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Варианты
1. Для сигнализации об аварии установлены 2 сигнализатора.
Вероятность того, что при аварии сработает первый
сигнализатор, равна 0,95, второй – 0,9. Найти вероятность
того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
2. Для разрушения моста достаточно попадания одной
авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет
разрушен, если на него будут выброшены 4 бомбы с
вероятностями попадания, соответственно равными
0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а
для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе
в мишень попадает только один из стрелков.
4. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего
сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется
высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех
проверенных изделий будет только 2 изделия высшего сорта.
5. Самолет противника захватывается тремя РЛС независимо
друг от друга соответственно с вероятностями 0,8; 0,6 и 0,5.
Найти вероятность захвата самолета всеми тремя станциями.
6. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в
июле равно шести. Найти вероятность того, что первого и
второго июля будет ясная погода.
7. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти
вероятность того, что студент знает предложенные ему
экзаменатором 3 вопроса.
8. Два охотника стреляют по оленю. Первый охотник может
попасть в оленя с вероятностью 0,7, а второй – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в оленя охотники не попадут.
9. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех
справочниках. Вероятность того, что формула содержится в
первом, втором и третьем справочнике соответственно равны
0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится
только в одном справочнике.
10. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным
номерам отобрали 3 человека. Найти вероятность того, что все
отобранные лица окажутся мужчинами.
Задание 3
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Варианты
1. Имеются 2 одинаковые на вид урны. В одной из них 5 белых и 3 черных шара, а в другой 4 белых и 5 черных шаров. Из наудачу выбранной урны наудачу был извлечен черный шар. Из какой урны вероятнее всего он был извлечен?
2. Среди семи винтовок три винтовки являются непристреленными. Вероятность попадания в цель из пристреленной винтовки равна 0,8, а из непристреленной 0,1. Выстрелом из наудачу взятой винтовки цель поражена. Найти вероятность того, что поражение цели было произведено из непристреленной винтовки.
3. Стрельба подводной лодки по береговому объекту может производиться с одной из трех позиций, вероятности выхода на которые равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Вероятности поражения цели с данных позиций равны соответственно 0,85; 0,75; 0,4. Произведена стрельба, в результате которой цель была поражена. С какой позиции вероятнее всего производилась стрельба?
4. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1. Для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
5. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятность попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 
.
6. Два из трех независимо работающих элементов устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 
.
7. Два автомата производят одинаковые детали, которые сбрасываются на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
8. Из 18 стрелков 6 попадают в мишень с вероятностью 0,9; 7 – с вероятностью 0,8; 3 – с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок производит два выстрела и делает промахи. К какой группе вероятнее всего принадлежал стрелок?
9. При разрыве снаряда обнаруживаются осколки трех категорий: крупные, средние и мелкие в количестве, соответственно, 10%, 30% и 60%. При попадании в броню крупный пробивает её с вероятностью 0,9; средний 0,2 и мелкий 0,05. В результате разрыва снаряда в броню попал один осколок и пробил её. Какова вероятность того, что осколок крупный?
10. Имеется три партии по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Найти вероятность того, что деталь была извлечена из третьей партии.
Задание 4
Повторение испытаний. Формула Бернулли
Вероятность попадания стрелком в цель равна р. Сделано п выстрелов. Найти:
a) Вероятность промаха;
b) Вероятность поражения цели;
c) Вероятность к попаданий в цель.
Варианты
| 1. | р=0,4; | п=5; | к=3. |
| 2. | р=0,6; | п=10; | к=2. |
| 3. | р=0,5; | п=7; | к=1. |
| 4. | р=0,9; | п=8; | к=3. |
| 5. | р=0,8; | п=6; | к=2. |
| 6. | р=0,5; | п=12; | к=4. |
| 7. | р=0,6; | п=4; | к=2. |
| 8. | р=0,3; | п=10; | к=3. |
| 9. | р=0,4; | п=8; | к=1. |
| 10. | р=0,3; | п=6; | к=2. |
Задание 5
Дискретные случайные величины
По цели произведено два независимых выстрела с вероятностями попадания при каждом выстреле соответственно р1и р2. Для случайного числа попаданий в цель составить ряд и функцию распределения. Построить их графики. Найти М[х],D[x],G[x].
Варианты.
| 1. | р1=0,4; | р2=0,5. |
| 2. | р1=0,3; | р2=0,6. |
| 3. | р1=0,2; | р2=0,3. |
| 4. | р1=0,1; | р2=0,7. |
| 5. | р1=0,6; | р2=0,4. |
| 6. | р1=0,7; | р2=0,5. |
| 7. | р1=0,8; | р2=0,3. |
| 8. | р1=0,9; | р2=0,2. |
| 9. | р1=0,5; | р2=0,8. |
| 10. | р1=0,4; | р2=0,7. |
Задание 6
Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения р(х). Требуется:
1). Определить коэффициент С;
2). Найти функцию распределения F(x);
3). Построить графики р(x) и F(x);
4). Найти вероятность того, что случайная величина Х принимает значение из интервала (α; β).
Варианты.
| 1. |   
| α=2; β=3 |
| 2. |  
| α=-5; β=0,5 |
| 3. | 
| α=1; β=3 |
| 4. | 
| α=0; β=1 |
| 5. |  
| α=0; β=3 |
| 6. |  
| α=1; β=2,5 |
| 7. | 
| α=2; β=3 |
| 8. |  
| α=1,5; β=2 |
| 9. | 
| α=1; β=3/2 |
| 10. | 
| α=0,5; β=1 |
Задание 7
Нормальный закон распределения случайной величины
Случайная величина Х подчиняется нормальному закону с параметрами m и σ.
Составить плотность распределения этой случайной величины р(х) и найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (α;β).
Варианты
| 1. | m =3 | σ =2 | α = -3; β = 2 |
| 2. | m =0 | σ =4 | α = -2; β = 3 |
| 3. | m =-2 | σ =2 | α = 0; β = 4 |
| 4. | m =6 | σ =2 | α = 4; β = 8 |
| 5. | m =20 | σ =10 | α = 17; β = 23 |
| 6. | m =2 | σ =0,5 | α = 0; β = 4 |
| 7. | m =5 | σ =20 | α = 0; β = 15 |
| 8. | m =4 | σ =0,5 | α = 3; β = 5 |
| 9. | m =20 | σ =10 | α = 10; β = 30 |
| 10. | m =0 | σ =14 | α = -10; β = 10 |
Решение типовых задач
Задание 1
У рабочего 20 однотипных деталей, из которых окрашено в красный цвет 9 деталей, в зеленый цвет 7 деталей и в синий 4 детали. Рабочий наудачу берет 6 деталей. Найти вероятность того, что среди выбранных деталей окажется 3 красных, 2 зеленых и 1 синяя.
Задание 2
В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в твёрдом переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в твёрдом переплете.
Задание 3
В пирамиде установлены 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0.8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Задание 4
По цели производится 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.6. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета.
Задание 5
Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка 0.3, для второго – 0.4.
Для случайного числа попаданий в цель составить ряд и функцию распределения. Построить их графики. Найти M[x], D[x], σ[x].
Задание 6
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения
Требуется:
1) определить коэффициент с;
2) найти функцию распределения F(х);
3) построить графики f(х) и F(х);
4) найти вероятность того, что случайная величина Х принимает
значения из интервала (1; 2).
Задание 7
Случайная величина подчинена нормальному закону с параметрами т = 3 и σ = 2. Составить плотность распределения этой случайной величины f(х) и найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (- 1; 4).
Сведения из теории
Классификация событий
Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в определенных условиях. Эти условия называются опытом или испытанием.
Два события называются взаимно противоположными, если наступление одного из них приводит к ненаступлению другого.
Неслучайное событие называется достоверным, если оно в результате испытания не может не наступить, и невозможным, если оно в результате испытания не может наступить.
Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого, и совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого в одном и том же испытании.
Два события называют независимыми, если наступление одного из них никак не отражается на возможности наступления другого, и зависимыми, если наступление одного из них определенным образом отражается на возможности наступления другого.