Первый замечательный предел.
Можно показать, что справедливо соотношение, называемое первым замечательным пределом:
.
Рассмотрим на примере, как можно использовать данную формулу для разрешения особенностей тригонометрических функций в конечных точках.
Задача 2.1.в. Вычислить
.
Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида 
. При 
получаем:
Прежде всего, сделаем замену переменной 
, так, чтобы новая переменная 
стремилась к 0, когда 
:
Используя формулу преобразования суммы синусов в произведение и формулу для косинуса двойного угла, получаем
.
Отсюда
.
Пусть сначала 
, тогда 
. Чтобы свести полученное выражение к формуле 
, поделим и умножим 
на 
, а 
на 
:
Заменяя пределы дробей 
и 
на 1, получаем
При 
имеем 
, и предел отличается только знаком:
.
Второй замечательный предел.
Справедлива формула
Задача 2.1.г.Вычислить .
Решение. Выделим в основании показательной функции выражение вида 
, где 
при 
. Для этого прибавим и вычтем 1 из 
:
Получаем:
Используя формулу второго замечательного предела, заменим выражение 
в пределе при на 
:
Осталось найти предел показателя степени:
Ответ: 
Комбинация первого и второго замечательных пределов.
Задача 2.1.д.Вычислить .
Решение. Убедимся сначала, что мы имеем дело с неопределенностью вида 
. Предел основания степени равен 
.Предел показателя степени равен 
.Неопределенность вида указывает, что для ее раскрытия следует воспользоваться вторым замечательным пределом. Выделим структуру второго замечательного предела 
в нашей формуле:
Теперь остается найти предел показателя степени. Делая замену переменной 
, получаем
Ответ: 
.
Особенность вида 
.
Задача 2.1.е.Вычислить 
Решение. Чтобы свести данный предел к формуле первого замечательного предела, проведем следующее преобразование:
.
Мы воспользовались формулой
.
Поскольку
,
получаем
.
Остается сделать замену 
, откуда 
, 
, 
.
В результате получаем
Ответ: 
.
Производные.
Производной функции 
в точке 
называется предел
.
Наряду с обозначением 
для производной используется еще обозначение 
.
Производные основных элементарных функций приведены в следующей таблице.
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
| 
|
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Рассмотрим дифференцирование степенной функции при некоторых 
.
Имеется два основных приема дифференцирования функций
1) Формуладифференцирования произведения и частного двух функций
,
.
2) Формула дифференцирования композиции (или сложной функции)
.