Типовые фаззификаторы и дефаззификаторы
Фаззификатор осуществляет отображение четкой точки 
(где 
- универсальное множество) в нечеткое множество 
в . Существуют два возможных варианта такого отображения:
Синглетон - фаззификатор (singleton fuzzifier); в этом случае нечеткое множество определяется как:
;
Несинглетон - фаззификатор (nonsingleton fuzzifier); в этом случае 
и значение 
убывает. Например,
,
где 
- параметр, характеризующий форму .
Примечание. Во многих приложениях, включая управление динамическими объектами, используется синглетон - фаззификатор, несинглетон - фаззификатор может быть полезен там, где данные подвержены искажению шумом.
Целью процесса дефаззификации является извлечение четкого выходного значения из результата нечеткого вывода 
, 
.
Таким образом, дефаззификатор осуществляет отображение нечеткого множества в 
в четкую точку .Существуют несколько вариантов такого отображения, например, такие:
· максимум-дефаззификатор (maximum defuzzifier) определяется как
(взять аргумент супремума функции);
· дефаззификатор «по центру тяжести» (center of gravity defuzzifier):
для непрерывного случая;
и
для дискретного случая,
где - результата нечеткого вывода после применения всех правил.
· дефаззификатор «средний максимум» (center average defuzzifier):
,
где 
- выходное нечеткое множество после применения нечеткого правила l, 
- значение центра (максимума) нечеткого множества , M – число нечетких правил.
Нечеткие системы как универсальные аппроксиматоры
Методология нечеткого моделирования основана на важнейших теоремах (необходимые и достаточные условия), согласно которым нечеткие системы обладают свойствами универсальных аппроксиматоров (universal approximators ).
Теорема о необходимых условиях (Wang L.-X., Kosko B.): Для любой действительной непрерывной функции 
на компактном множестве 
и произвольной 
существует нечеткая логическая система 
(с нечеткой импликацией в виде нечеткой конъюнкции (умножения), с синглетон-фаззификатором, дефаззификатором «по центру тяжести» и Гауссовскими функциями принадлежности) такая, что
.
Эти теоремы были доказаны Wang L.-X. [7] и Kosko B.
Теорема о достаточных условиях: Нечеткая логическая система может аппроксимировать любую действительную непрерывную функцию.
Эта теорема была доказана Buckley J.J.
Эти две теоремы объясняют, почему нечеткие системы так привлекательны в инженерных приложениях теории управления: нечеткие контроллеры могут рассматриваться как универсальные аппроксиматоры систем с неизвестной динамикой и структурой.
Типовые Нечеткие Модели
Рассмотрим три наиболее популярные нечеткие модели, используемые в управлении.
Нечеткая Модель Мамдани
В нечеткой модели Мамдани (Mamdani fuzzy model) используются следующие нечеткие правила (общий вид):
ЕСЛИ 
И 
И … И 
ТО 
,
где 
- входные переменные нечеткой модели, 
- выходное значение; 
- индекс нечеткого правила, 
(число нечетких правил); 
- множество функций принадлежности, описывающих входную переменную 
; 
- множество функций принадлежности, описывающих входную переменную 
; … 
- множество функций принадлежности, описывающих входную переменную 
; 
- множество функций принадлежности, описывающих выходную переменную 
.
В общем виде, четкое выходное значение в нечеткой модели Мамдани (с нечеткой конъюнкцией в виде умножения, синглетон - фаззификатором и дефаззификатором «средний максимум») вычисляется по следующей формуле:
- точка максимального значения (центра) 
.
На рис 2.15 показано простое графическое представление нечеткого вывода в Мамдани модели.
Рис. 2.15. Графическое представление нечеткого вывода в Мамдани модели.
Нечеткая Модель Сугено
В нечеткой модели Сугено (Sugeno fuzzy model) используются следующие нечеткие правила (общий вид):
ЕСЛИ И И … И ТО 
где - входные переменные нечеткой модели, - выходное значение; 
- индекс нечеткого правила, (число нечетких правил); - множество функций принадлежности, описывающих входную переменную ; - множество функций принадлежности, описывающих входную переменную ; … - множество функций принадлежности, описывающих входную переменную .
Правая часть нечеткого правила представляется четкой полиномиальной функцией:
.
Если правая часть 
(константа), то такая нечеткая модель называется нечеткая модель Сугено нулевого порядка (zero-order Sugeno fuzzy model). Эта модель используется в нечетких ПИД регуляторах.
В общем виде, четкое выходное значение в нечеткой модели Сугено (с нечеткой конъюнкцией в виде умножения, синглетон - фаззификатором и дефаззификатором «взвешенное среднее») вычисляется по следующей формуле:
.
На рис. 2.16 показано простое графическое представление нечеткого вывода в Сугено модели.
Нечеткая Модель Цукамото
В нечеткой модели Цукамото (Tsukamoto fuzzy model) используются следующие нечеткие правила (общий вид):
ЕСЛИ И И … И ТО ,
где – входные переменные нечеткой модели, - выходное значение; - индекс нечеткого правила, (число нечетких правил); – множество функций принадлежности, описывающих входную переменную ; – множество функций принадлежности, описывающих входную переменную ; …, – множество функций принадлежности, описывающих входную переменную .
Рис. 2.16. Графическое представление нечеткого вывода в Сугено модели
В отличие от двух предыдущих моделей функции принадлежности 
, описывающие выходную переменную , представляет собой монотонно убывающую (или монотонно возрастающую) функцию (рис. 2.17); - множество функций принадлежности, описывающих выходную переменную .
Рис. 2.17. Графическое представление нечеткого вывода в Цукамото модели
В общем виде, четкое выходное значение в нечеткой модели Сугено (с нечеткой конъюнкцией в виде умножения, синглетон-фаззификатором и дефаззификатором «взвешенное среднее») вычисляется по следующей формуле:
,
где 
На рис. 2.17 показано простое графическое представление нечеткого вывода в Цукамото модели.
Рассмотренные выше модели нечеткого вывода широко используются в прикладных задачах нечеткого управления.