Понятие эластичности функции и его экономические приложения
Глава 2. ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ.
Функция спроса.
Основной задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин. Как изменится выручка фирмы при повышении цены на её продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач надо построить функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. Предельный анализ в экономике – совокупность приемов исследования изменяющихся величин на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель функции – это её производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функций нескольких переменных).
Рассмотрим для примера важнейшую экономическую зависимость – функцию спроса. Исследуемая величина спроса на определенный товар за некоторый период времени является эндогенной переменной, обозначим её буквой x. Она зависит от многих факторов (экзогенных переменных): цены этого товара p, дохода потребителей, цен других товаров (дополняющих или замещающих) и других факторов, которые не всегда можно количественно измерить, например, моды, рекламы, инфляционных ожиданий. Если зафиксировать все факторы, кроме цены, то мы получим самую простую модель – функцию одной переменной, задающую зависимость спроса от цены x=x(p). Как и другие функции, функцию спроса можно задать дискретно таблицей соответствующих значений (эмпирические данные), можно на основе статистических данных методами эконометрики вывести формулу зависимости (математическая модель), а можно нарисовать кривую спроса (графическая модель).
Чтобы измерить, насколько изменяется исследуемый показатель при изменении фактора, имеются два подхода: приростный и темповый.
Если рассматривать абсолютный прирост переменной 
(изменение аргумента x) и вызываемый им прирост 
(изменение значения функции 
), то в качестве меры «абсолютной» чувствительности может служить: средняя скорость изменения функции 
или предельная скорость 
– производная. При этом подходе прирост функции оценивается с помощью производной 
. Отсюда экономический смысл предельной величины (производной): она примерно равна приросту функции при изменении аргумента на одну единицу (предполагается, что эта единица – достаточно малая величина). 
Как правило, величина спроса на какой-либо товар уменьшается при увеличении его цены (исключая товары Гиффина, для которых не выполняется закон спроса). Это отражается в отрицательном наклоне кривой спроса и в том факте, что функция спроса обычно убывает.
Пример. Функция спроса на сахар в одном населенном пункте в кг за день задана в виде 
(где p - цена в руб. за кг). Это так называемая прямаяфункция спроса, которая позволяет устанавливать величину спроса при подстановке значений цены. Например: при цене на сахар 20 руб. его потребление составит 160кг.
А для построения графика функции спроса – кривой спроса (по традиции в системе координат xOp) – удобно выразить p через x и получить обратную функцию спроса p=100-0.5x. Учитывая неотрицательность всех переменных, имеем ограничения: 
. Кривая спроса расположена в первой четверти. В данном примере функция спроса линейна, её графиком является прямая линия с отрицательным углом наклона.
. Производная везде одинакова. Её величина означает, что если увеличить цену на 1рубль (прирост цены 
), то спрос уменьшится на 2кг ( 
). ◄
Производная отражает абсолютную величину падения спроса при повышении цены. Но величина станет другой, если измерять сахар в других единицах (не в кг, а в тоннах). В этом кроется недостаток производной функции спроса как меры чувствительности спроса - она зависит от единиц измерения величин. В отличие от абсолютного прироста (при увеличении цены сахара с20 до 25 рублей он составит 25-20=5 рублей), относительный прирост 5/20=1/4=25% не связан с единицами измерения.
Понятие эластичности функции и его экономические приложения
Оценить изменение функции можно, сравнивая темпы роста фактора и зависимой переменной, для этого используют связь относительных или процентных изменений переменных.
Эластичностью функции y=f(x), не равной нулю и дифференцируемой в точке x¹0, называется предел отношения относительных изменений переменных
Эластичность функции y=f(x) вычисляется по формуле: 
Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью.
Эластичность функции показывает, на сколько примерно процентов изменится значение функции, если значение аргумента изменится на 1%.
Составим таблицу эластичностей для некоторых функций:
| y=f(x) | ex(y) | y=f(x) | ex(y) |
| a | a/x | –1 | |
| x | a x | x lna | |
| ax+b | ax/ax+b | e bx | bx |
| x b | b | lnx | 1/lnx |
Свойства эластичности.
1) Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измеряются переменные.
2) Если эластичности сомножителей существуют, эластичность произведения также существует и равна сумме эластичностей сомножителей: ex(fg)= ex(f)+ex(g).
3) Если эластичности делимого и делителя существуют, эластичность частного также существует и равна разности эластичностей делимого и делителя: ex(f/g)= ex(f)–ex(g).
4) Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины
5) Эластичность можно представить в форме «логарифмической производной»
