Функции издержек и их свойства.

В экономической литературе для функций общих, переменных и постоянных издержек используются обозначения, соответственно, TC (total cost), VC (variable cost), FC (fixed cost). При построении графиков функций издержек (кривых издержек) мы эти обозначения тоже будем использовать

График функции постоянных издержек – это прямая, параллельная оси абсцисс.

Из соотношения С(q) = CV(q) + С0 следует, что кривая общих издержек получается из кривой переменных издержек путем сдвига вверх на число единиц, равное постоянным издержкам. В связи с этим можно ограничиться исследованием функции переменных издержек.

Поскольку самый дешевый план, обеспечивающий выпуск 0 единиц продукции, не требует затрат ресурсов, CV(0)=0. График функции переменных издержек выходит из начала координат, графики функций общих и постоянных издержек начинаются в точке (0, С0). На рис. 9 изображены кривые общих и переменных издержек для функции общих издержек Подробнее см. [5,12].

Рис. 9. Кривые общих и переменных издержек. Рис.10. Кривые средних общих, средних переменных и предельных издержек.

Воспользуемся некоторыми очевидными из экономических соображений свойствами издержек производства (аксиомами издержек), принятие которых накладывает определенные ограничения на свойства моделирующих их функций.

A1: функция переменных (общих) издержек является строго монотонно возрастающей функцией.

Из A1 следует, что .

Функция называется функций предельных издержек.

В экономической литературе для функции предельных издержек используется обозначение MC(q) (marginal cost).

Экономическая интерпретация предельных издержек: величина предельных издержек при данном объеме выпуска показывает, на сколько денежных единиц приблизительно возрастут издержки, если увеличить объем выпуска на единицу

.

A2: начиная с некоторого объема выпуска (возможно, равного нулю), приращение переменных (общих) издержек, порожденное выпуском дополнительной единицы продукции, последовательно возрастает.

В силу закона убывающей отдачи ресурсов увеличение выпуска на единицу требует все большего и большего увеличения затрат ресурсов, а значит предельные издержки MC(q)» C(q+1)–C(q) становятся все больше.

Из A2 следует, что функция предельных издержек возрастает либо при всех q³0, либо начиная с некоторого объема выпуска. Соответственно, функция переменных (общих) издержек является выпуклой либо при всех q ³ 0, либо начиная с некоторого объема выпуска.

Функция называется функцией средних издержек – себестоимостью (в экономической литературе обозначают ATC – average total cost) и численно равна издержкам, которые приходятся на единицу продукции.

Используя представление функции общих издержек через функцию переменных издержек и постоянных издержек, получим следующее представление для функции средних издержек:

Функция AVC(q) носит название функции средних переменных издержек (average variable cost), а функция AFC(q) – функции средних постоянных издержек (average fixed cost).

Исследуем поведение функции AFC(q):

; ; . (1)

Из (1) следует, что средние постоянные издержки с ростом объема продукции асимптотически убывают к 0, и их график лежит ниже графика функции средних издержек.

Поведение функции средних переменных издержек AVC(q):

(2)

, . (3)

Равенство (2) означает, что графики функции предельных издержек и функции средних переменных издержек начинаются в одной точке. Из (3) следует, что график функции средних переменных издержек AVC расположен ниже графика функции средних общих издержек AC, а с ростом q они асимптотически сближаются.

Рассмотрим, как связаны между собой функции предельных и средних издержек. Поскольку C(q)=qAC(q), то

Предположим, что на некотором интервале функция AC(q) возрастает, тогда AC’(q)>0 и С’(q)>AC(q), то есть, предельные издержки больше средних. Если же AC(q) убывает на некотором интервале, то AC’(q)<0 и С’(q)<AC(q).

При каком объеме производства себестоимость продукции будет минимальна? Рассмотрим задачу о минимизации функции средних издержек:

, .

– задача безусловной оптимизации, если ее решение существует, оно достигается в критической точке.

Существование решения обеспечивается аксиомой:

A3: C ростом объема выпуска средние издержки первоначально убывают, а, начиная с некоторого объема выпуска, начинают возрастать (эффект масштаба).

Множество критических точек задачи найдем из уравнения:

,

Отсюда получаем, что критическая точка функции AC(q), если она существует, совпадает с точкой пересечения функции средних издержек и функции предельных издержек.

Предположим, что кривые средних и предельных издержек пересекаются, и рассмотрим абсциссу точки их пересечения q*. Точка q* – критическая точка задачи AC’(q*)=0. Выясним характер (и наличие) экстремума в этой точке.

.

Отсюда: если функция предельных издержек возрастает (убывает) в окрестности , то ( ) и – точка минимума (точка максимума) функции средних издержек;

Итак, кривая предельных издержек MC пересекает кривую средних переменных издержек AVC в точке минимума средних переменных издержек и кривую средних общих издержек AC тоже в её точке минимума.

На рис. 10 представлены эти три кривые для функции общих издержек (см. [5,12])

Можно показать, что если ПФ f(x) характеризуется возрастающим эффектом от расширения масштабов производства, то пропорциональное расширение производства снизит средние издержки.