Випробування за схемою Бернуллі.

6.1.1. Послідовності незалежних випробувань. Нехай здійснюється п незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може відбутися зі сталою ймовірністю р, або не відбутися з ймовірністю q = 1 – p. Результат кожного випробування не залежить від результатів всіх попередніх випробувань, тобто випробування незалежні в сукупності. В цьому випадку говорять, що випробування здійснюються за схемою Бернуллі: В (п, р), де п і р – параметри схеми Бернуллі. Треба знайти ймовірність того, що в п випробуваннях подія А відбудеться к разів.

Подію в, яка полягає в тому, що подія А настала при кожному з к перших випробувань і не відбулася при інших (п – к) випробуваннях, можна записати у вигляді добутку к подій А (п – к) подій

(6.1)

Оскільки всі п випробувань за умовою незалежні, то ймовірність настання події В дорівнює добутку ймовірностей настання подій А і А:

Р (В) = рk ·(1 – p)n-k = p k ·q n-k.

6.1.2. Формула Бернуллі. Подія А може відбуватися k разів при п випробуваннях, але при цьому може утворитися послідовності (6.1). Проте для будь – якої такої послідовності подій ймовірність настання події А k разів при п випробуваннях дорівнює p k ·q n – k. Число найрізноманітніших послідовностей появи події А k разів в п випробуваннях дорівнює числу сполучень з п елементів по k . Оскільки різні послідовності з k елементів А і п – k елементів А можна розглядати як різні наслідки серії з п незалежних випробувань, то всі ці наслідки (події) несумісні. Тому шукану ймовірність, яку звичайно позначають Р п (k), обчислюють як суму ймовірностей настання різних наслідків серії з п випробувань:

P n (k) = C · pk · (1 – p)n-k = C · pk · qn-k .

Ця формула називається формулою Бернуллі.

6.1.3. Найвірогідніше число появи події А.Ймовірності Рп (к) при фіксованому п спочатку зростають при збільшенні k від 0 до деякого числа ko , а потім зменшуються, якщо ko < k n . Число ko , якому при заданому п відповідає найбільша ймовірність Рп (ko) , називається найвірогіднішим числом появи події А. Якщо число р (п + 1) дробове, то ko = [p(n+1)] – цілій частині цього числа. Якщо р(п + 1) ціле,то ko має два значення р(п + 1) ціле, то ko має значення р(п + 1) і (п + 1) – 1.

6.1.4.Локальна теорема Муавра – Лапласа.Користуватися формулою Бернуллі (6.2.) при великих значеннях п досить важко. В таких випадках застосовують локальну теорему Мувра – Лапласа, яка дає асимптотичну формулу вигляду

Рп (k) · (x), де (х) = е , х = .

Існують таблиці значень функції (х) для додатних значень аргументу х (додаток 1). Для від’ємних значень аргументу використовують ті ж самі таблиці, оскільки функція (х) парна, тобто (-х) = (х).

6.1.5. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа.Щоб знайти ймовірність Рп (k1,k2) того, що кількість появи події А в п випробуваннях знаходиться в межах k1 k k2 , використовують інтегральну теорему Муавра – Лапласа:

Pn (k1, k2) (6.4)

де

Оскільки визначений інтеграл (6.4) не виражається через елементарні функції, то використовують таблиці, в яких вміщені значення функції Лапласа

для доданих значень аргументу х (додаток 2). Для від’ємних значень аргументу використовують ті ж самі таблиці, враховуючи, що функція Ф (х) непарна, тобто

Щоб користуватися функцією Лапласа, перетворимо співвідношення (6.4)

Остаточно маємо

(6.5)

6.1.6.Розподіл Пуассона.Якщо у послідовності незалежних випробувань за схемою Бернуллі п досить велике, а р мале (р npq <9), то при обчисленні Рп (k) доцільно користуватися граничною формулою Пуассона (закон “рідкісних” явищ):

де (6.6)

Для відомих значень k і використовують таблиці функції (6.6)

(додаток 3).