Лемма Бореля-Лебега
Лемма (Бореля-Лебега).Всякое открытое множество на числовой оси представляет собой сумму конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
Теорема 1. Объединение конечного числа и пересечение произвольного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Теорема 2.Дополнение замкнутого множества есть множество открытое.
Теорема 3.Объединение произвольного числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
Перечислим также некоторые следствия, вытекающие из рассмотренных выше определений и утверждений.
1) Конечное множество не имеет предельных точек.
2) Каждое рациональное число является точкой прикосновения множества иррациональных чисел.
3) Каждое действительное число является точкой прикосновения множества рациональных чисел.
4) Пустое множество замкнуто и открыто одновременно.
5) Множество 
не открыто и не замкнуто в 
.
6) Множество является как открытым, так и замкнутым.
7) Любая 
-окрестность точки 
– открытое множество.
8) Отрезок 
является замкнутым множеством.