ПРИМЕР 1
Атом массой m с гамильтонианом 
и энергией e находится в трехмерном изолированном объеме V, где все точки и направления равноправны. Найти макрохарактеристики фазового ансамбля. Рассмотреть газ из N атомов.
Система изолирована, тогда 
,
.
Фазовый ансамбль состояний находится в импульсном пространстве на трехмерной сфере радиусом
.
Микросостояния отличаются направлениями вектора импульса и положениями в объеме V. Число микросостояний внутри гиперповерхность 
находим из (2.2б)
.
При 
, 
получаем
.
Используем
,
находим число микросостояний
. (П.2.4)
Одночастичная энергетическая плотность состояний (2.22)
равна
. (П.2.5)
Плотность состояний классической частицы пропорциональна объему V, доступному для частицы, и корню квадратному из энергии.
Из (2.68)
и (П.2.4), (П.2.5) находим тепловую энергию
. (П.2.6)
Следовательно, средняя энергия частицы, пропорциональная тепловой энергии
.
При нормальной температуре
.
Из (2.64), (П.2.5)
,
,
и (П.2.4)
,
находим давление, создаваемой фазовым ансамблем, соответствующим одной частице:
,
где учтено (П.2.6) . Получено уравнение идеального газа из одной частицы 
.
Энтропию находим из (2.71) и (П.2.4)
,
получаем
,
где 
. Энтропия понижается при уменьшении объема сосуда и энергии частицы.
Частный случай – азот N2. Масса атома
.
При
, 
,
получаем
,
.
На интервале энергии 
находятся 
уровней, следовательно, классический газ имеет квазинепрерывный спектр.
Для N одинаковых частиц идеального газа полная энергия складывается из энергий отдельных частиц
,
где 
– проекция импульса одной из частиц на декартову ось. Получаем уравнение сферы в 3N-мерном импульсном пространстве радиусом 
. Объема шара вычисляем по формуле (П.2.1)
, 
.
Получаем
,
,
тогда
,
.
Из (2.68) 
находим
– температура пропорциональна средней энергии частицы.
Давление
.
Получено уравнение идеального газа 
.