Зв’язок між геодезичними і прямокутними к – тами в пр- ції Г-К
Перевичеслення геодезичних координат в зональні координати здійснюється на основі формул загальної теорії проекції Гаусса-Крюгера (1):
Як відомо,Х є випрямленою дугою ос-го мер-на, відповідає широті точки.Відрізок OQ’ є дугою мер-на,то: M×dB=dX(2) 
(3).Підст. (2) в (3)
(4) Визначимо диф-ал 2 пор.:
(5) 
Відомо, що радіус кривини меридіана дорівнює:
. Для виз-ня dB/dq використ (3):
Знайдемо: 
Якщо за аналогічною методикою знайти диф-ли 3 та ін. пор. і підставити їх в (1), то отрим. Ф-ли, які встановлюють чітку ф-нальну залежність між геод-ми к-ми та зон-ми к-ми х,у.
Ці ф-ли є ф-ми для обчислення зональних координат за відомими геодезичними координатами.
t=tg B 
4. Перехід від прямокутних к-т пр.-ції Г-К до геод
Проекція Г-К встан чіткий ф-нальний зв'язок між геод і зон к-ми, так і обернений, за яким можна визначити геод к-ти.Загальна теорія проекції Г-К базується на двох функціональних залежностях:
x+il=f1 (q+il)
x-il=f2 (q-il)
Ці формули встановлюють функціональний зв’язок між зон к-ми х,у і геод к-ми B, L. Очевидно існує і обернений функціональний зв’язок між ними, тобто:
q+il=F (x+iу)
q-il=F (x-iу) (1)
В (1) у характеризує відстань до точок від осьового меридіану зони і ця відстань строго ограничена розмірами зони. Вважаючи її малою вел-ною, представимо праву част р-нь (1) розкладом в ряд Тейлора:
Встановимо зміст величини F (x). Приймемо що к-та довільної точки пр. Г-К прямує до нуля.Точка Q0 стає т.Q1, різниця довгот l=0.Таким чином, точка буде визначатися лише к-тою Х. Підставимо х=0 у=0 в (1): q = F (x) = qx – хар-зує полож точки на ос.мер-ні. Рівняння розкладу в ряд:
Додамо їх: > 
Віднімемо: 
Ф-ли встановлюють ф-нальну залежність між зон та геод к-ми. Для реалізації отриманих формул знайдемо диф-ли dq/dx різних порядків. Відомо, що dq=МdB/NcosB. У цій формулі вираз МdB хар-є дугу осьового меридіана dx=MdB. З врахуванням цього dq/dx=1/NcosB. Для визначення диф-ла 2 порядку: d2q/dx2=d(dq/dx) / dB * dB/dx.Визначення 1-ої складової передбачає диф-ня по широті В: dq/dx=1/r, де r-радіус паралелі, r=N cosB,
d(dq/dx) / dB=-1\r2*dr\dB. Радіус паралелі-це є функція широти: r= cosB*a(1-e2sinB)-1\2. Тоді:
dr/dB=a(-sinB(1-e2sinB)-1\2+cosB(-1\2)(1-e2sinB)-3\2(e2 2sinBcosB)).Звідси: dr/dB=asinB(1-e2sinB)-3\2*
*(-1+e2sinB+e2cos2B).Отже,dr / dB= -M*sinB.
Підставляємо: d(dq/dx) / dB = M*sinB / N2*cos2B
буде: dB / dx=1/M. (d2q/dx2)1=sinB1 / N12*cos2B1
Якщо підставити диф-ли вищих порядків, то отримаємо вирази для визначення q і l:
На основі формули dq=МdB/NcosB представимо символ q у функц. у залежності від геодез.широти В:
q=f(B)=f(B+B1-B1)
q= f(B1+(B-B1))
Величини B і B1 близькі між собою. Якщо f(B1) вважати величиною q1, то з отриманого рівняння знайдемо: q-q1 =(B-B1) dq\dB, (B-B1)=(q-q1) dq\dB.
dq\dB визначаємо із формули dq=МdB/NcosB:
dB\dq=(NcosB)/M. Якщо цей вираз підставити в попередній,а (q-q1) визначити з рі-ня, то кінцево для геодез. широти отримаємо: B=B1- (y2/2) (sinB1/N12cos2B1) dB/dq.
Ці ф-ли дозволяють перевичислити плоскі прямокутні коорд. х і у в геодез.коорд. В і l.
t=tg B