Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний

Рассм. сис-му лин. алгебр. ур. Ax=b (1), где

. Будем предполагать, что det(A)≠0, т.е. сист. (1) однозначно разрешима при любой правой части. Перепишем (1) в развернутом виде (2). Идея метода Гаусса в приведении матрицы А в (1) к треугольному виду. После этого нахождение вектора x не будет составлять труда. На (k-1)-ом шаге метода Гаусса сист. (2) приводится к виду: ,(3)

. (4) На k-ом шаге метода Гаусса обрабатыв. только подсист. (4). Вначале приводим 1-ый коэффициент 1-ого ур. в (4) к единице, т.е. , коэфф. кот. вычис. через коэфф. сист. (4) по расчетной форм. (5). Далее из всех ур. подсист. (4) начиная со 2-го исключает неизвестную ,т.е. все ур. подсист. (4) начинаясо 2-го приводим к виду

Коэфф. сист. рассчитываются по форм. (6)

На этом заканчивается k-ый шаг метода и начин. очередной k+1 шаг. Указанные шаги повторяются до тех пор, пока исходная сист. (2) не будет приведена к виду:

,(7) (8). На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса и начинается обратный. Из последнего ур.(8) Далее, двигаясь по сист. снизу-вверх находим

Замечание.При реализации вычислений по ф-лам (5) (6) прдполагаем . В случае нарушения этого усл. необходимо соотв. образом переставить ур. в (4). Замечание. В ходе вычислен по (5) определитель м-цы А делится на величину . Определит системы (7)(8) равен поэтому .

28. - разложение квадратных матриц.

Пусть данная квадрат. матрица. Будем строить разложение этой матрицы в виде: (1), где - нижняя (левая) треугольная матрица, - верхняя (правая) треугольна матрица.

Теорема:Пусть все главные миноры матрицы отличны от , тогда (1) существует.

При этом, если диагональ одной из матриц или фиксированы, то такое разложение единственное.

Вместо доказательства укажем способ построения разложения (1) . Зафиксируем элементы главной диагонали матрицы положив их равными . Матричному равенству (1) поставим в соответствие равенство:

(2)

Выполнив умножение в левой части (2) получим сист. ур. относительно неизвестных , .

(3)

Специфика данной сист. позволяет решать её след. образом: из 1 строки в (3) находим , . Из оставшейся части 1-ого столбца находим, , . Далее, из оставшейся части 2-ой строки находим , . Из оставшейся части 2-ого столбца находим , , и т.д. Последним определяем элемент

Указанный процесс решения сист. (3) можно описать посредством двух форм.: , (4)

, (5)

При практическом счёте необходимо вовремя переключаться с форм. (4) на форм. (5) в соотв. с указанной выше последовательностью. При выполнении усл. теоремы форм. (5): . Действительно, и т.д.

Замечание: Разложение (1) всегда осуществимо, если матрица. А явл. матрицей с диагональным преобраз., т.е. для такой матрицы выполняется ,

Рассм. сист. линейных алгебраических ур. (6). Применим к матрице -разложение. В итоге, будем иметь (7)

Сист. (7) представим в виде двух сист. (8)

Поскольку матрицы и треугольные, то решения каждой из подсист. (8) идентично обратному ходу метода Гаусса.