Методы локализации корней алгебраического уравнения

Расс. алг. ур. степени (1) с вещественными коэф-ми. Ур. (1) имеет ровно корней с учетом их кратности. Корни алг. ур. степеней 2, 3 и 4 выражаются в радикалах через свои коэфф. Корни могут быть как действительные, так и комплексные. При этом, если ур. (1) имеет корнем комплексное число , то корнем ур. будет и комплексно сопряженное ему число . Это непосредственно следует из равенства , справедливого для любых комплексных чисел . Т.о., алг. ур. нечетной степени имеют хотя бы один действительный корень. Для нахождения вещественных корней алг. ур. (1) можно применить методы решения численных ур. Верхнюю и нижнюю оценки модуля корней алг. ур. дает

Теор. Если , (2)

то все корни ур. (1) распол. в кольце (3)

Для оценки верхней границы положительного корня может оказаться полезной

Теорема Если - максимум абсолютных величин отрицательных коэфф. ур., и первый отрицательный коэфф. в ряду есть , то все положительные корни ур. меньше (если отрицательных коэфф. нет, то нет и положительных корней).

Для оценки верхней границы положительного корня может оказаться полезной

Теорема (теорема Ньютона). Если при полином и все его производные неотрицательны, то может быть принято за верхнюю границу положительных корней ур. .

Для отделения действительных корней алгебраического уравнения может быть использована

Теорема (теорема Штурма). Пусть ур. (1) не имеет кратных корней. Обозначим через производную ; через остаток от деления на , взятый с обратнымзнаком; через остаток от деления на , взятый с обратным знаком и т.д., до тех пор пока не придем к постоянной. Получим последов. ф.

, (4)наз. рядом Штурма.

Число действительных корней ур. , расположенных на равно разности между числом перемен знаков в последов. (4) при и числом перемен знаков в последов. (4) при .

При решении ур. (1) приходится многократно вычислять знач. мног..

Для вычисления знач. следует пользоваться схемой Горнера, кот. можно записать в виде

(5)

Вычисления в схеме Горнера можно описать также рекуррентными соотн. .(6)

Схема Горнера дает также удобный способ получения частного от деления мног. на линейный множитель . Действительно, можно убедиться, выражение обращается в тождество мног. , коэфф. кот. вычисляются по форм. (6). Нахождение частного и остатка от деления на квадратный трехчлен можно провести с использованием форм.

Эти форм. получ. из тожд.

сравнением коэфф. при одинаковых степенях . Покажем, что вычисление производных мног. в точке сводится к последов. делению на линейный множитель . Частное от деления мног. на обозн. через . Тогда можно записать .

При последов. делении на получаем последов. мног. . Коэфф. мног. вычисляются по рекуррентным форм. (7). Здесь для симметрии положили . В результате получается представление мног.

. Сравнивая это выражение с разложением в ряд Тейлора в окр. точки : , получаем соотн. . Т.е., используя рекуррентные соотн. (7), можно найти производные мног. в точке .