Тұрақты ток электр тізбектері.Контурлық токтар әдісі

⇐ Назад

Контурлық тоқтар әдісін 1873 жылы Максвелл ұсынған. Бұл әдіс электр тізбектерін есептеудің әмбебап әдістері қатарына жатады.

Бұл әдіс Кирхгоф заңдарына және екі шартты келісімдерге негізделген.

Бірінші келісім: әрбір контурда біріне – бірі байланыссыз шартты контурлық есептік тоқ жүреді деп саналады:

І₁₁, І₂₂, І₃₃, ..., І_nn.

Осы тоқтар белгісіздер ретінде ізделеді.

Екінші келісім: әрбір тарам арқылы өтетін тоқ осы тарам арқылы өтетін контурлық тоқтардың алгебралық қосындысына тең

Бұл келісім аясында тоғы ізделіп отырған тарамдардан өтетін контурлық тоқтар үш жағдайда болады.

Бірінші жағдай (1˚) – тарамнан өтетін контурлық тоқтардың бағыттары бірдей. Бұл жағдайда ізделіп отырған тоқ сол контурлық тоқтардың арифметикалық қосындысына тең бағыттары сол контурлық тоқтардың бағыттарымен бағыттас (57-сурет, 1˚)

Екінші жағдай (2˚) – тарамнан өтетін контурлық тоқтардың бағыттары қарама-қарсы. Бұл жағдайда ізделіп отырған тоқ сол контурлық тоқтардың айырымы ретінде табылады: үлкеннен кішісі алынады да үлкенінің бағыты қойылады (57-сурет, 2˚)

, егер .

Үшінші жағдай (3˚) – тарамнан бір ғана контурлық тоқ өтеді. Бұл жағдайда ізделіп отырған тоқ осы контурлық тоққа тең бағыты онымен бағыттас (57-сурет, 3˚)

Өздеріңе белгілі Кирхгофтың екінші заңы бойынша мынадай теңдеулер жазамыз

I₁R₁- I₂R₂- I₄R₄=E₁-E₂;

-I₂R₂- I₃R₃+ I₅R₅= -E₂-E₃_;

R₄R₄+ I₅R₅+ I₆R₆=0.

Жоғарыда келтірілген шартты келісімдердің бірініші шарты бойынша осы контурда контурлық тоқтар жүреді дейік, оларды былай белгілейік және бағыттары белгілі дейік:

І₁₁, І₂₂, І₃₃.

Екінші шарт бойынша тарамдағы тоқтарды контурлық тоқтар арқылы өрнектейік.

І₁=І₁₁, І₂=-(І₁₁+І₂₂), І₃=-І₂₂, І₄=(І₃₃-І₁₁), І₅=(І₂₂+І₃₃), І₆=І₃₃ (5.2)

Егер (5.2) (5.1) ге қойсақ:

І₁₁R₁+(I₁₁ + I₂₂)R₂-(I₃₃- I₁₁) R₄=E₁- E₂;

(I₁₁ + I₂₂) R₂+ I₂₂R₃+(I₂₂+ I₃₃)R₅= - E₂- E₃;

(I₃₃- I₁₁)R₄+(I₂₂+I₃₃)R₅+ I₃₃R₆=0.

Жақшаларды ашып бірдей мүшелерді біріктірсек:

І₁₁ (R₁+ R₂ + R₄)+ І₂₂R₂-I₃₃-R₄=E₁- E₂;

І₁₁R₂ + I₂₂(R₂+R₃ +R₅) + I₃₃R₅ = -E₁- E₃;

-І₁₁R₄+ I₂₂R₅ + I₃₃(R₄+R₅ +R₆)=0.

Яғни үш белгісіз бар (І₁₁, І₂₂, І₃₃) сызықтық теңдеулер системасын алдық, матрица түрінде:

[R]x[I]=[E].

Матрицаларды ашсақ

Осы матрицаны талдап көрейік:

(R₁ + R₂ + R₃) = R₁₁- бірінші контурдың меншікті кедергісі.

(R₂ + R₃ + R₄) = R₂₂- екінші контурдың меншікті кедергісі.

(R₄ + R₅ + R₆) = R₃₃- үшінші контурдың мешікті кедергісі.

яғни R_nn–контурлардың меншікті кедергісі, оң таңбамен алынады.

R₂ = R₁₂ = R₂₁– бірініші және екінші контурдың ортақ кедергісі;

-R₄ = R₁₃ = R₃₁– бірінші және үшінші контурдың ортақ кедергісі;

R₅ = R₂₃ = R₃₂ – екінші және үшінші контурдың ортақ кедергісі,

яғни R_mn=R_nm–контурлардың ортақ кедергілері–контураралық кедергілер, егер контурлар бағыты бірдей болса оң, басқа жағдайда теріс таңбамен жазылады.

Е₁ –Е₂ = Е₁₁- бірінші контурдың электр қозғаушы күші;

Е₂ –Е₃ = Е₂₂- екінші контурдың электр қозғаушы күші;

0= Е₃₃- үшінші контурдың электр қозғаушы күші;

яғни Е_nn- контурлық электр қозғаушы күштер.

Ендеше кез-келген электр желісі үшін контурлық тоқтар бойынша мынадай теңдеулер жүйесін жазуға болады:

R₁₁I₁₁+ R₁₂I₂₂+ R₁₃ I₃₃ +…+ R_1n I_nn=E₁₁

R₂₁I₁₁+ R₂₂I₂₂+ R₂₃ I₃₃ +…+ R_2n I_nn=E₂₂

R₃₁I₁₁+ R₃₂I₂₂+ R₃₃ I₃₃ +…+ R₃_n I_nn=E₃₃

_{- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -}

R_n1I₁₁+ R_n2I₂₂+ R_n3 I₃₃ +…+ R_mn I_nn=E_nn

Осы теңдеулер системасындағы белгісіз контурлық тоқтарды математикадағы белгілі әдістермен табуға болады.

І₁₁, І₂₂, І₃₃,... I_nn

Ал, тармақтағы нақты тоқтар екінші шарт бойынша табылады.

Біздің мысал үшін: үш контурлы желі, сондықтан теңдеу үшеу, егер есепті анықтауштар әдісімен шығарсақ.

- теңдеудің бас анықтауышы

₁₁, ₂₂, ₃₃ – теңдеудің қосымша анықтауыштары