Связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные)
Ресурс, соответствующий связывающему ограничению, является дефицитным ресурсом, так как он используется полностью. Ресурс же, соответствующий не связывающему ограничению, является недефицитным ресурсом, так как он имеется в избытке. Поэтому при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяют:
предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;
предельно допустимое уменьшение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное решение. Это особенно важно, если остатки недефицитного ресурса можно использовать для других целей.
Следует заметить, что анализировать влияние на оптимум увеличения недефицитных ресурсов или уменьшения объема дефицитных ресурсов не имеет смысла, поскольку в первом случае и без того избыточный ресурс становится еще более избыточным, что никак не скажется на полученном ранее решении. Вторая же часть задачи особенно важна, поскольку сокращение объема дефицитного ресурса никогда не улучшает значения целевой функции и, следовательно, приведет к уменьшению дохода от реализации, т.е. ухудшению показателей коммерческой деятельности предприятия.
В рассматриваемой задаче используемые запасы сырья А и В являются дефицитными ресурсами, поэтому последовательно рассмотрим сначала увеличение запасов сырья (ресурса) А.
На рис. 2.8.3 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая (1) перемещается вверх параллельно самой себе, при этом треугольник DКЕ постепенно стягивается в точку К(3, 2). В этом случае областью допустимых решений становится многоугольник ABCKF, а оптимальному решению соответствует точка К,а ограничения (2) и (4) становятся связывающими. В точке К ограничение (1) становится избыточным, поскольку любое дальнейшее увеличение запаса ресурса А не влияет ни на область допустимых решений, ни на оптимальное решение.
Рис. 2.8.3. Изменение области допустимых решений от величины запасов ресурса А
Именно в этом и состоит отличие недефицитности ресурса от его избыточности: исключение избыточного ограничения не изменяет ни области допустимых решений, ни самого оптимального решения, в то время как исключение исходного ограничения, соответствующего дефицитному ресурсу, всегда изменяет область допустимых решений, но не всегда — оптимальное решение. Таким образом, нет необходимости увеличивать объем сырья Асверх того предельного значения, при котором соответствующее ему ограничение (1) станет избыточным, где прямая (1) пройдет через точку К, что и указывает на новое оптимальное решение.
Этот предельный уровень можно найти следующим образом.
Сначала определяются координаты точки К, являющейся точкой пересечения прямых (2) и (4), которая находится из решения системы уравнений:
.
Затем путем подстановки координат точки К(3; 2) в левую часть ограничения (1) определяется максимально допустимый запас ресурса А:
=0,5•3+2=3,5 (т).
Следовательно, разумно увеличить запас сырья Ана 0,5 т, при этом новое оптимальное значение целевой функции будет равно:
=2*3 + 3*2=12 тыс.руб.
2. Аналогично решается задача о целесообразности увеличения запасов дефицитного ресурса (сырья) Вв соответствующем ограничении (2) (рис. 2.8.4).
Рис. 2.8.4. Изменение области допустимых решений от величины запасов ресурса В
Новым оптимальным решением становится точка L, где пересекаются прямые (1) и (6), т.е. =3 и 
=0,5. Очевидно, её координаты 
=5 и =0,5, причем запас сырья Вможно увеличить до значения, равного 
=5 + 0,5•0,5=5,25 т, т.е. на 1,25 т, тогда новое оптимальное значение целевой функции будет равно:
= 2*5 + 3*0,5 = 11,5 тыс. руб.
3. Рассмотрим теперь решение задачи о возможности снижения запасов недефицитных ресурсов (т.е. об уменьшении правой части несвязывающих ограничений).
Ограничение (4) 
задает уровень спроса на краску для внутренних работ. На рис. 2.8.5 видно, что прямую CD(4) можно опускать параллельно вниз до пересечения с точкой Е ( 
), не изменяя оптимального решения. Таким образом, при уменьшении
спроса на краску для внутренних работ до величины 
, т. е. на 
, оптимальность полученного ранее решения сохраняется.
Рис. 2.8.5. Изменение области допустимых решений от объема спроса
Ограничение (3) 
представляет соотношение между суточным спросом на краску для внутренних работ и суточным спросом на краску для наружных работ. В этом случае правую часть ограничения также можно уменьшать до тех пор, пока прямая ВС(3) (рис. 2.8.6) не достигнет точки Е.
Рис. 2.8.6. Изменение области допустимых решений от изменения соотношения спроса на краски
При этом правая часть ограничения (3) станет равной 
, а само решение (3) может быть записано в виде:
или 
.
Полученный результат показывает, что если суточный спрос на краску для наружных работ будет превышать суточный спрос на краску для внутренних работ не менее чем на 2 т, то ранее полученное оптимальное решение также не изменится.
Полученные результаты можно обобщить и представить в виде таблицы 2.8.1.
Таблица 2.8.1
| Ресурс | Тип ресурса | Предельно
допустимое
изменение
запаса ресурса  , т.
| Предельное
приращение
оптимального
значения  , тыс. руб.
| Значение  ,
тыс. руб./т
|
| Дефицитный |  =3,5-3=0,5
| 
| 
|
| Дефицитный |  =5,25-4=1,25
| 
| 
|
| Недефицитный |  =-2-1,5=-3,5
| 
| 
|
| Недефицитный | 
| 
| 
|
4. При решении задач анализа модели на чувствительность в условиях ограничения на затраты, связанные с дополнительным привлечением ресурсов или с инвестициями, что характерно для большинства экономических задач, возникает задача выбора предпочтения ресурсов при вложении дополнительных средств. Для этого вводится показатель ценности дополнительной единицы ресурса i-го вида, которую можно найти по формуле
,
где — предельно допустимое изменение запаса ресурса;
— соответствующее предельное приращение оптимального значения целевой функции.
Используя данные табл. 2.8.1, например, для ограничения (1), вычислим ценность соответствующего ресурса А:
тыс. руб./т.
Аналогично можно определить ценность единицы каждого из остальных используемых ресурсов, что и представлено в последнем столбце таблицы 2.8.1.
На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что дополнительные вложения (инвестиции) следует направить прежде всего на увеличение ресурса (сырье A) , а затем уже — на увеличение ресурса (сырье В) . Как и предполагалось ранее, увеличивать объем недефицитных ресурсов не следует ( 
).
5. Рассмотрим теперь, в каких пределах возможно изменение цен на краски, при которых не происходит изменение оптимального решения. Цены на краски 
и 
определяют наклон линии целевой функции 
. Уменьшение или увеличение приводит к вращению линии целевой функции против часовой стрелки относительно точки Евплоть до совпадения с линией DE графика (1) (рис. 2.8.7). В этом случае доход от продажи изменяется, а множество вариантов плана получим на прямой DE. Такое же явление наблюдается при вращении линии целевой функции по часовой стрелке относительно точки Епри изменении коэффициентов целевой функции в противоположную сторону, что и указано на рис. 2.8.7. В этом случае получим на линии EF множество альтернативных решений и , крайние из которых точки E и F указывают на получение оптимальной величины дохода.
Дальнейший анализ заключается в определении допустимого интервала изменения цены при постоянной цене =3, при котором решение остается оптимальным. Находим максимальное значение , увеличивая его до тех пор, пока наклон прямой целевой функции не совпадает с прямой EF (2),тогда это значение находится из равенства тангенсов углов наклона линий 
и 
:
.
Рис. 2.8.7. Влияние изменения цен на доход от продажи
При этом доход от реализации увеличится и может составить 
тыс. руб. Аналогично минимальное значение находим, уменьшая его до тех пор, пока наклон прямой, соответствующей целевой функции, не совпадет с прямой DЕ (1),тогда
это значение находится из равенства тангенсов углов наклона линий 
и 
:
; 
.
При этом доход от реализации уменьшится и станет равным 
тыс. руб. Таким образом, допустимый интервал изменения цены , в котором точка Е остается единственной оптимальной, определяется неравенством 
. При
=1,5 оптимальным решением является весь отрезок DE,его любая точка, включая точки Е и D. Если <1,5, то оптимум смещается в точку D.
Аналогично при =6 оптимальное значение целевой функции достигается в любой точке отрезка EF, включая точки Е и F, Если же >6, то в этом случае оптимум смещается в точку F.
Следует заметить, что при <1,5 ресурс становится дефицитным, а ресурс — недефицитным, т.е. если выручка от продажи 1 т краски для наружных работ станет меньше 1,5 тыс. руб., то для фабрики наиболее выгодно выпускать максимально допустимое количество краски для внутренних работ, = 2 т в сутки. При этом общее потребление сырья Вснизится, что обусловит недефицитность этого ресурса в офаничении (2).
Соответствующие выводы можно сделать и для случая >6, когда ресурс становится дефицитным, а ресурс — недефицитным. В этом случае доход от продажи 1 т краски для наружных работ будет больше 6 тыс. руб. и наиболее выгодным становится
выпуск только краски этого вида (точка F) в объеме =4 т в сутки. При этом общее потребление недефицитного сырья А снижается, — вограничении (1).
Аналогичные вычисления можно сделать и для цены на краску для внутренних работ :
; 
,
=8 тыс. руб.
; 
=12 тыс.pyб.
Таким образом, допустимый интервал изменения цены для нее составит 
, при этом единственным оптимальным решением остается точка Е( 
)- Если цена =1 тыс. руб., то оптимальной является любая точка отрезка EF,При дальнейшем уменьшении цены краски для внутренних работ оптимум смещается в точку F,следовательно, выпуск фабрикой краски этого вида становится невыгодным. Если же цена =4 тыс. руб., то оптимальное значение целевой функции достигается в любой точке отрезка DE,а дальнейшее увеличение цены смещает оптимум в точку D.
6. С целью расширения использования возможностей методов и моделей линейного программирования воспользуемся еще составлением двойственной задачи по отношению к исходной или прямой. Обозначим 
двойственные оценки (теневые стоимости) единицы каждого ресурса задачи. Тогда двойственная задача формулируется следующим образом: определить оценку единицы каждого вида ресурса, чтобы при заданных объемах ресурсов, нормах их расхода и показателях дохода общая
стоимость затраченных ресурсов была бы минимальной.
Запишем математическую модель двойственной задачи к сформулированной выше в п. 2.4.2 примера 2 прямой задаче линейного программирования:
| Прямая задача | Двойственная задaчa |
Определить  ,
который при ограничениях:
| Определить  ,
который при ограничениях:
|
| 
|
обеспечивает максимум
 .
| обеспечивает минимум
 .
|
Решение двойственной задачи определяет оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для производства красок. Установим сопряженные пары прямой и двойственной задач:
.
Пользуясь решением прямой задачи (таблица 2.4.3), получим (таблица 2.8.2) решение двойственной задачи, для чего перепишем симплексную таблицу оптимального решения.
Таким образом, оптимальный план двойственной задачи к задаче планирования производства краски имеет следующий вид:
, 
.
Проведем анализ оптимального плана двойственной задачи. В оптимальном плане условные двойственные оценки единицы ресурсов первого и второго видов отличны от нуля 
; 
.Ресурсы этих видов в оптимальном плане прямой задачи используются полностью, поскольку дополнительные переменные 
; 
.
Таблица 2.8.2
| План | Базисные переменные | Значения базисных перемен- ных |
|
| 
| 
| 
| 
|
| V |
| 3,5 | -2 | |||||
|
| 2/3 | -4/3 | 2/3 | |||||
|
| 
| 4/3 | -2/3 | |||||
|
| 
| -2/3 | 4/3 | |||||
| 
| 
| 2/3 |
Двойственные оценки равны нулю: 
; 
, что свидетельствует о необеспеченности спроса, а дополнительные переменные =3,5; =2/3 вошли в оптимальный план производства красок.
Двойственные оценки в оптимальном плане больше нуля у тех видов ресурсов, которые полностью используются при производстве краски. Эти оценки определяют дефицитность ресурсов А и В, а их величины ; показывают, насколько возрастает максимальное значение дохода от продажи краски в прямой задаче при увеличении количества соответствующего вида ресурса на единицу. Например, увеличение ресурса А на 1 т приведет к такому плану, при котором доход от продажи краски возрастет на тыс. руб. и станет равным + = 
тыс. руб. Увеличение же ресурса В на 1 т приведет к другому оптимальному плану, при котором доход от продажи краски возрастет на 
тыс. руб. и станет равным + = 
тыс. руб. Следует заметить, что коэффициенты симплексной таблицы, расположенные
в столбце переменной показывают, что указанное увеличение дохода по ресурсу А достигается за счет увеличения производства краски внутренних работ на 4/3 т и уменьшения производства краски для наружных работ на 2/3 т в сутки. Значение целевой функции при этом составит
тыс. руб.
Аналогичные рассуждения можно провести по переменной симплексной таблицы , где соответственно расположенные коэффициенты указывают на увеличение дохода от реализации краски при изменении ресурса Вза счет уменьшения производства краски для внутренних работ на 2/3 т и одновременного увеличения производства краски для наружных работ на 4/3 т в сутки. Значение целевой функции при этом составит
тыс. руб.
При подстановке оптимальных значений двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:
.
Первое и второе ограничения двойственной задачи являются равенствами, следовательно, двойственные оценки ресурсов, используемые для производства красок для наружных и внутренних работ, равны в точности доходу, получаемому от их продажи. Поэтому продажа указанных видов краски экономически целесообразна в соответствии с оптимальным планом прямой задачи.
Представляют интерес в решении задачи только две двойственные оценки: ; .Они характеризуют «стоимость » ресурсов А и В.Проведем анализ устойчивости двойственных оценок относительно изменений ресурсов A и В(см. п. 2.5.3).
Первый вид ресурса А (столбец )может изменяться в пределах:
,
, .
Следовательно, интервал изменения ресурса А будет равен:
[3-1; 3+1/2]=[2; 7/2].
Второй ресурс В (столбец )может изменяться в пределах:
,
, .
Следовательно, интервал изменения ресурса В равен:
[4-1; 4+2]=[3; 6].
Составим субоптимальные варианты плана с учетом изменений исходных данных модели.
1. Пусть суточный запас сырья А уменьшился на 1 т. В результате производство краски для наружных работ возросло до 4 т, а для внутренних работ снизилось до нуля, доход от реализации сократился до 8 тыс. руб. (таблица 2.8.3).
Таблица 2.8.3
| Базисные переменные | Значения базисных переменных | Коэффициент
структурных
сдвигов (  )
по 
| Произведение
на 
| Расчет
варианта
плана
|
|
| 3,5 | -2 | +2 | 5,5 |
|
| 2/3 | -4/3 | +4/3 | |
|
| 4/3 | 4/3 | -4/3 | |
|
| 10/3 | -2/3 | +2/3 | |
|
| 32/3 | 8/3 | -8/3 |
2. Пусть суточный запас сырья Вувеличился на 2 т.
Таблица 2.8.4
| Базисные переменные | Значения базисных переменных | Коэффициент
структурных
сдвигов ( )
по 
| Произведение
на 
| Расчет варианта плана |
|
| 3,5 | 7,5 | ||
|
| 2/3 | +2/3 | 4/3 | |
|
| 4/3 | -2/3 | -4/3 | |
|
| 10/3 | 4/3 | 8/3 | |
|
| 32/3 | 2/3 | 4/3 |
В результате производство краски для наружных работ возросло до 6, внутренних работ снизилось до нуля, доход от реализации увеличился до 12 тыс. руб. (табл. 2.8.4).
Важно заметить, что математические методы реализованы в виде специальных программ в компьютерах. Однако постановку и расшифровку получаемых решений осуществляет человек, и на это уходит основное время, а реализация на компьютере составляет малое время.
Таким образом, можно проводить математическое моделирование вариантов продажи, учитывая динамику реальной жизни, и прогнозировать устойчивость коммерческой деятельности предприятия.
Задачи
1-6. Найдите новое оптимальное решение по производству фабрикой красок и их продаже при следующих условиях.
1. Отдел снабжения фабрики прогнозирует на следующий месяц недопоставку сырья В в объеме 1,5 т в сутки.
2.Отдел рекламы при проведении рекламной кампании прогнозирует на летний сезон увеличение продажи краски для внутренних работ до 4 т в сутки.
3. Производственный отдел предлагает новый технологический процесс, который позволит снизить расход сырья А и Вна, производство 1 т краски для наружных работ с 0,5 и 1 т до 0,4 и 0,8 т соответственно.
4. Маркетинговый отдел прогнозирует на зимний сезон снижение цен краски для внутренних работ и наружных работ с 3 тыс. руб. и 2 тыс. руб. до 2,5 тыс.руб. и 1,5 тыс. руб. за 1 т соответственно.
5. Отдел сбыта установил, что спрос на краску для внутренних работ никогда на превышал 3 т в сутки.
6.Маркетинговый отдел предлагает выпускать еще один вид краски для покраски автомобилей с расходом сырья Аи Всоответственно 0,4 и 1,1 по цене 4 тыс. руб. за 1 т.
7. Отдел снабжения прогнозирует на следующий месяц увеличение поставки сырья А на 2 т в сутки.
8. Отдел снабжения на следующий месяц прогнозирует снижение поставки сырья А на 0,5 т и увеличение сырья В на 1 т в сутки.
9. Отдел снабжения на следующий месяц планирует увеличить поставки сырья А на 0,5 т в сутки.
10. Отдел снабжения на следующий месяц планирует недопоставку сырья В на 1,5 т в сутки.