РГР - 5 Силовий аналіз плоского важільного механізму
Умова завдання. В таблиці 5 представлені кінематичні схеми механізмів з позначеним навантаженням ланок. Сила Рi прикладена в точці D i-тої ланки. На ланку 3 діє момент сил М3 і сила ваги G3, прикладена в центрі ваги S3 цієї ланки.
Задані величини: Р2 = Р3 = 100 Н, М3 = 15 Н·м, G3 = 80 Н,
Розміри ланок: 
.
Визначити.1) Реакції в кінематичних парах і урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом планів сил. 2) Урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом Жуковського.
Таблиця 5
|
| ||
|
| ||
|
|
Таблиця 5 (продовження)
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
|
Таблиця 5 (продовження)
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Таблиця 5 (продовження)
| 
| ||
|
| ||
|
| ||
|
|
Приклад розв’язання РГР - 5
Задано кінематичну схему плоского важільного механізму з позначеним навантаженням ланок (рис.5.1).
Рис.5.1
| Дано:
 Р2 = 100 Н ,
М3 = 15 Н·м , G3 = 80 Н.
Визначити:
1) Реакції в кінематичних парах і урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом планів сил.
2) Урівноважуючий момент, прикладений до ланки ОА, методом М.Є.Жуковського.
|
Розв'язок
1. Побудуємо кінематичну схему механізму в умовному масштабі (рис.5.2,а). На схемі покажемо задані сили 
, а також момент
М3 , що діє на ланку 3. Урівноважуючий момент, який визначається, прикладемо (згідно умови) до ведучої ланки ОА, спрямувавши його у довільному напрямі. Силовий розрахунок механізму виконаємо без урахування сил і моментів сил інерції Даламбера.[1]
Обидва запропоновані в умові методи розв’язку завдання потребують певних дій з силами. Тому при розгляданні рівноваги механізму або його окремих частин моменти сил, що прикладені до ланок, треба заміняти відповідними парами сил.
2. Визначення реакцій в кінематичних парах механізму і урівноважуючого моменту методом планів сил.
При розв’язку задачі методом планів сил, механізм умовно роз’єд-нують на структурні групи Ассура і механізм I-го класу. У нашому випадку маємо формулу будови механізму: I (0,1) → II (2,3).
Силовий розрахунок починають з кінця механізму. Для нашого механізму це означає, що спочатку треба розглянути рівновагу структурної групи (2,3), а за цим – рівновагу ведучої ланки 1. Зробимо ці кроки послідовно.
Рівновага структурної групи (2,3).
Побудуємо групу Ассура (2,3) в довільному масштабі (рис.5.2,б). Прикладемо до неї сили 
і 
. Момент М3 заміняємо парою сил 
. Ці сили прикладемо на кінцях ланки 3 (в точках В і С), перпендикулярно до ланки 3 і у напрямі дії моменту М3. Модулі сил пари дорівнюють:
Н (5.1)
В кінцевих шарнірах А і С прикладемо сили реакцій, що діють на ланки 2 і 3 з боку інших ланок механізму. В шарнірі А силу 
(сила, що діє на ланку 2 з боку ланки 1) розкладемо на складові: нормальну 
і тангенціальну 
. В шарнірі С силу 
(сила, що діє на ланку 3 з боку ланки 0) також зобразимо у вигляді суми нормальної 
і тангенціальної 
складових. Напрямок складових невідомих реакцій приймаємо довільно.
Система сил, що діє на групу (2,3), є плоскою урівноваженою.
Для визначення невідомих сил застосуємо умови рівноваги плоскої системи сил у вигляді рівнянь:
(5.2)
де 
- головний вектор системи сил в площині дії сил;
- алгебраїчне значення головного моменту системи сил в площині їх дії, відносно будь-якого центру О.
З першої умови в (5.2) маємо рівняння рівноваги сил, прикладених до групи (2,3):
(5.3)
В цьому рівнянні двома рисками позначені вектори, в яких напрямок і величина є відомими. Вектори, в яких відомий тільки напрямок, позначені однією рискою. Отже рівняння (5.3) має 4 невідомих параметри, що свідчить про неможливість його розв’язання шляхом графічних побудов. Цієї проблеми можна уникнути, якщо величини складових 
і 
знайти аналітично, використовуючи рівняння моментів в умові (5.2).
Для визначення 
складаємо рівняння рівноваги моментів сил, що діють на ланку 2, відносно внутрішнього шарніру В:
(5.4)
Тоді 
Н.
Складову 
визначимо з рівняння рівноваги моментів сил, що діють на ланку 3, відносно того ж внутрішнього шарніру В:
(5.5)
З цього маємо 
Н.
Тепер складові 
і 
можуть бути знайдені графічним шляхом за допомогою побудови плану сил групи (2,3) (рис.5.2,в). Для цього, у відповідності до рівняння (5.3), побудуємо векторний многокутник сил. Приймаємо масштабний коефіцієнт побудов на плані - 
Н/мм.
Довжину відрізків, що зображують сили, визначимо за формулами:
(5.6)
Побудову силового многокутника проводимо в такій послідовності.
З довільної точки а відкладаємо відрізок ав, який зображує в масштабі 
реакцію . Далі послідовно відкладаємо сили 
(відрізок вс), 
(відрізок сd) і 
(відрізок de). Нормальні складові реакцій 
(відрізок fa) і (відрізок ef ) отримаємо графічно, на перетині прямих, проведених з точок а і е у напрямку векторів і . Величини цих сил знайдемо після вимірювання відрізків fa і ef і подальшого помноження їх довжин на масштаб .
(5.7)
Повні реакції в кінематичних парах А і С знайдемо за формулами:
Н; (5.8)
Н (5.9)
Для визначення реакції 
запишемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ланки 2 :
(5.10)
З плану сил (рис.5.2,в) видно, що відрізок сf відповідає реакції 
. Величина цієї реакції дорівнює:
Н (5.11)
Цю ж силу можна було визначити інакше, а саме, розглянувши рівновагу ланки 3. Тоді з рівняння рівноваги і плану сил для ланки 3 отримали би 
Н, причому 
.
Зауваження 1.
Слід зазначити, що нормальні складові реакцій в шарнірах А і С можна знайти не лише графічним способом. Прийнятними для цього можуть бути також графоаналітичний або аналітичний методи. Для прикладу, розглянемо визначення 
і 
за допомогою аналітичних рівнянь рівноваги моментів.
Складову визначимо з рівняння моментів сил, що діють на групу відносно точки С.
(5.12)
Складову визначимо з рівняння моментів сил, що діють на групу відносно точки А.
(5.13)
Як бачимо, результати, отримані аналітично, збігаються з попередніми результатами, що визначені за методом планів сил.
Рівновага ведучої ланки ОА.
Побудуємо кінематичну схему ведучої ланки ОА при заданому положенні механізму (рис.5.2,г). Покажемо сили, що діють на неї. В точці А з боку ланки 2 діє сила 
, величина и напрямок якої є відомими. (Іноді, замість сили 
можна зображати її складові, величина і напрямок котрих теж відомі.) Урівноважуючий момент МУР заміняємо парою сил 
, прикладеною до точок О і А, перпендикулярно до ланки ОА і у напрямку МУР. В шарнірі О зображуємо силу реакції 
, розклавши її на відповідні складові: нормальну 
і тангенціальну 
. Прикладена до ланки ОА система сил є плоскою урівноваженою.
З урахуванням (5.2) складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ланки ОА.
(5.14)
Невідомі величини і знайдемо с плану сил (рис.5.2,д), побудованому в масштабі 
Н/мм. Для цього визначаємо довжину відрізків, що зображують відомі сили.
(5.15)
Побудову плану сил проводимо в такій послідовності. З довільної точки а відкладаємо відрізок ав, який зображає в масштабі силу 
. Далі відкладаємо силу 
(відрізок вс). Невідомі за величиною сили (відрізок сd) і (відрізок da) знаходимо графічно, на перетині прямих, проведених з точок а і с у напряму відповідних зусиль. Далі, складові реакції в шарнірі О знаходимо після вимірювання відрізків сd і da і помноження їх довжин на масштаб .
(5.16)
Тоді повна реакція 
:
Н (5.17)
Реакції в кінематичних парах знайдені.
Урівноважуючий момент МУР можна визначити, якщо знайти хоча б одну з сил, що складають пару (рис.5.2,г). Для цього розглянемо рівняння рівноваги моментів сил, прикладених до ланки ОА, відносно точки А.
(5.18)
З цього рівняння маємо:
Н
Тоді 
Нм
Зауваження 2.
Урівноважуючий момент можна знайти значно простіше, якщо розглянути рівновагу моментів сил, прикладених до ланки ОА, відносно точки О.
(5.19)
Н∙м
Складову 
можна визначити аналітично з рівняння моментів сил, що діють на ланку відносно точки Е.
(5.20)
Звідки 
Н ≈ 18 Н.
Результати розрахунків збігаються з отриманими раніше.
3. Визначення урівноважуючого моменту методом М.Є.Жуковського.
Визначимо урівноважуючий момент за методом важеля Жуковського. Для цього будуємо в довільному масштабі повернутий на 90° план швидкостей (рис.5.2,е). На ньому, використовуючи теорему подібності, знаходимо положення точок а, в, с, d, S3, , що є точками прикладання сил на плані механізму.
Переносимо всі сили паралельно до самих себе від механізму до плану швидкостей, прикладаючи їх у відповідних точках.
Складаємо рівняння моментів сил відносно полюса плану швидкостей.
. (5.21)
З плану швидкостей видно, що
Тоді 
Цей результат збігається із значенням РУР, визначеним методом моментів.
Н·м. (5.22)
Рис.5.2