Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах

 

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) че-рез площадку dS называется величина, равная:

 

d Φm = BdS = Bn dS, (1.7.1)

где Bn = Bcosα – проекция вектора B на направление нормали n к площадке dS, α − угол между векторами n и B (рис. 1.7.1). Магнит-ный поток равен числу линий магнитной индукции, пронизывающих замкнутую поверхность в направлении внешней нормали.

 

Bn

 

α B

 

n

 

dS

 

S

 

Рис. 1.7.1

 

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверх-ность S равен

 

Φ m = ∫ BdS = ∫Bn dS . (1.7.2)
S S  
     

 

Если магнитное поле однородно (B = const), а поверхность S пло-ская, то магнитный поток равен

 

Фm = BS cosα. (1.7.3)

 


За единицу магнитного потока принимается магнитный поток сквозь плоскую поверхность единичной площади, расположенную пер-пендикулярно к однородному магнитному полю, индукция которого равна единице. В системе СИ единица магнитного потока называется

 

вебером [Вб].

 

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром,называетсяпотокосцеплениемψэтого контура(потоком,сцепленным с контуром). Если контур имеет N витков, то потокосцеп-ление этого контура:

 

Ψ = N Φm, (1.7.4)

где Фт − поток, пронизывающий один виток контура.

 

В природе отсутствуют элементарные «магнитные заряды», ана-логичные электрическим зарядам, поэтому линии индукции В магнит-ного поля не имеют ни начала, ни конца, т. е. магнитные силовые ли-нии замкнуты. Следовательно, поток Фт через любую замкнутую поверхность будет всегда равен нулю, так как число входящих линий

равно числу выходящих силовых линий:    
∫      
BdS =0или∫ BndS =0. (1.7.5)  
S S    

 

Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной форме:

 

поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверх-ность равен нулю.

 

Так как B = μμ0H, то поток вектора H через любую замкнутую
поверхность также равен нулю:  
∫ HdS = 0 или ∫ HndS = 0. (1.7.6)
S S  

 

Для записи теоремы Гаусса для магнитного поля в дифференци-альной форме воспользуемся теоремой Остроградского − Гаусса

∫ AndS = ∫divAdV .


S V


 

 

∫       (1.7.7)  
BdS = 0 ⇒ ∫ divBdV = 0 ⇒ divB = 0.  

S V

 

Для напряженности магнитного поля получится аналогичное вы-ражение:

 

divH =0. (1.7.8)

 

Выражения (1.7.7) и (1.7.8) являются дифференциальной формой теоремы Гаусса.


 


Тема 2. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИК С ТОКОМ И ДВИЖУЩУЮСЯ ЗАРЯЖЕННУЮ ЧАСТИЦУ

 

Лекция № 3

 

2.1. Сила Ампера.

 

2.2. Контур с током в магнитном поле. Магнитный момент конту-ра с током. Механический момент, действующий на контур с током в однородном магнитном поле.

 

2.3. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле.

 

2.4. Сила Лоренца. Масс-спектрометрия.

2.5. Эффект Холла.

 

Сила Ампера.

 

Действие магнитного поля на проводник с током опытным путем было установлено Г. Эрстером и А. Ампером и детально исследовано А. Ампером. На основании опытных данных А. Ампер установил, что сила, с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле, равна:

 

dFA= I dl × B , (2.1.1)

 

где dl − вектор, совпадающий по направлению с током. Модуль силы Ампера определяется как

 

dFA= IBdl sinα, (2.1.2)

 

где α − угол между векторами dl и B.

 

Направление силы Ампера принято определять по правилу левой руки:если ладонь левой руки расположить так,чтобы в нее входил век-тор магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый на 90о большой палец по-кажет направление силы Ампера, действующей со стороны поля.

 

Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных про-водника с токами I1 и I 2, находящиеся на расстоянии R друг от друга (рис. 2.1.1). Проводник с током I1 создает вокруг себя магнитное поле, которое действует на элемент проводника dl с током I2. Направление вектора магнитной индукции данного поля определяется правилом правого винта, и его модуль равен:

 

B1=μμ02Iπ1R , (2.1.3)

а модуль силы с учетом, что sinα = 1, имеет вид dF = I2B1dl.


 


 

 

dF В1
 

 

dl

dl

 

В dF
   

 

R

 

Рис. 2.1.1

 

Тогда сила взаимодействия двух проводников с током равна:

dF =μμ   I1 I2 dl и dF = μμ   I1 I2 dl ⇒  
0 2πR 0 2πR  
    (2.1.4)  

dF = dF1= dF2=μμ02I1πIR2 dl .

Сила взаимодействия на единицу длины проводника в вакууме будет равна:

dF = μ   2I1 I2 .   (2.1.5)  
dl      
  0 4πR    
При условии, что I1 = I2 = 1 А и R = 1 м получим, что dF = 2 ⋅10−7 Н/м.  
dl  
             

Соотношение (2.1.5) лежит в основе определения единицы силы тока. За единицу силы тока − 1 ампер (А) − принимается сила такого постоянного тока, при прохождении которого по двум параллельным бесконечно длинным проводникам очень малого сечения , располо-женным в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, сила их магнитно-го взаимодействия равна 2·10−7 Н на каждый метр длины.