Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами
Учебная задача: формирование умений в исследовании функции на четность (нечетность), периодичность, монотонность элементарными средствами.
В результате студент:
Знает
- определение четной (нечетной) функции;
- свойство графика четной (нечетной) функции;
- определение периодической функции;
- понятие периода функции, наименьшего положительного (главного) периода функции;
- план исследования функции на периодичность;
- определение возрастающей (убывающей) функции на промежутке;
- понятие монотонной функции;
Имеет представление
- об элементарных функциях, которые являются четными (нечетными), периодическими;
- о промежутках монотонности элементарных функций;
Умеет
- на основе определения или соответственных свойств элементарных функций исследовать функцию на четность (нечетность);
- исследовать функцию на периодичность;
- находить наименьший положительный период функции;
- исследовать функцию на монотонность, используя различные способы сравнения значений функции.
Подготовка к занятию:
Подготовить ответы на вопросы:
а) Какая функция называется чётной/нечётной? Привести примеры чётных/нечётных функций.
б) Какой особенностью обладает область определения чётной/нечётной функции?
в) Какой особенностью обладает график чётной/нечётной функции?
г) Какая функция называется периодической? Привести примеры периодических функций.
д) Какая функция называется возрастающей/убывающей на некотором промежутке?
Содержание занятия:
Определение: Функция 
называется чётной/нечётной, если для любого 
из области определения этой функции выполняется равенство 
/ 
.
В определении чётной/нечётной функции неявно содержится условие, что если принадлежит области определения функции, то и 
также принадлежит области определения этой функции. Это условие говорит о симметричности области определения чётной/нечётной функции относительно нуля. Поэтому установить чётность/нечётность функции можно, действуя по следующему плану:
1) Найти область определения функции и проверить её симметричность относительно нуля.
2) Если область определения функции симметрична относительно нуля, то найти значение 
и сравнить его с и с 
для любого из области определения.
3) Сделать вывод.
Пример 1.Исследуйте функцию на чётность/нечётность:
а) 
.
Решение: Функция определена на множестве 
, симметричном относительно нуля. Найдём : 
для любого из области определения. Следовательно, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.
б) 
.
Решение: Область определения данной функции находится из неравенства 
. Промежуток, заданный неравенством 
, несимметричен относительно нуля. Значит, данная функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.
Ответ: функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.
в) 
.
Решение: Функция определена на множестве всех действительных чисел, а оно симметрично относительно нуля. Найдём : 
. Очевидно, что равенства 
или 
не могут выполняться для любого , т.е. существуют такие , что 
и 
. Поэтому данная функция не является чётной и не является нечётной.
Ответ: функция не является чётной и не является нечётной.
Для определения чётности/нечётности функции можно использовать соответствующие свойства входящих в неё элементарных функций.
Пример 2.Исследуйте функцию на чётность/нечётность:
.
Решение: Функция определена на множестве 
, где 
, симметричном относительно нуля. Данная функция есть произведение двух элементарных функций 
и
,первая из которыхявляется чётной, а вторая – нечётной. Поэтому 
, т.е. заданная функцияявляется нечётной.
Ответ: функция нечётная.
Легко убедиться в том, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Действительно, пусть 
– произвольная точка графика функции 
, т.е. 
– верное равенство. Если является чётной функцией, то существует 
и верно 
, а это означает, что точка 
- симметричная точке 
относительно оси ординат, также принадлежит графику функции . Если является нечётной функцией, то существует и верно 
, а это означает, что точка 
- симметричная точке относительно начала координат, также принадлежит графику функции .
Функции, не являющиеся чётными или нечётными, называются функциями общего вида.
Определение: Функция называется периодической, если существует такое число 
, что для любого из области определения этой функции выполняется равенство 
.
Число 
называется периодом функции .
В определении периодической функции неявно содержится условие, что если принадлежит области определения функции, то и 
, 
также принадлежат области определения этой функции.
Докажем, что из выполнимости равенства 
следует выполнимость равенства 
. Действительно, равенство 
выполняется для любого 
, тогда возьмём в качестве 
число , получим: 
.
Аналогично можно установить, что если – период функции, то 
, 
, 
, …, 
, 
, 
, … - также периоды функции, т.е. периодическая функция имеет бесконечно много периодов. Обычно ставится задача об отыскании наименьшего положительного (главного) периода функции (если он существует).
Итак, устанавливая периодичность функции, следует проверять следующие условия:
1) Для любого из области определения функции числа и также принадлежат области определения функции.
2) Для любого из области определения функции выполняется равенство .
Пример 3. Установите, является ли функция периодической:
а) 
.
Решение: Предположим, что – период функции. Тогда, согласно определению, для любого из области определения этой функции (множества всех действительных чисел) выполняется равенство 
. Далее можно рассуждать двумя способами.
Способ 1. Решим полученное уравнение относительно Т:
,
,
,
Решим отдельно первое уравнение совокупности:
,
,
Из уравнения 
получим: 
тогда, 
т.е. – не число, а функция от . Из уравнения 
находим: 
. Среди чисел 
, 
, наименьшим положительным является число 
. Проверим, не является ли оно периодом функции .
1) Очевидно, что для любого числа 
и 
принадлежат области определения данной функции.
2) 
, так как элементарная функция 
является периодической с периодом 2p.
Поскольку все требования определения периодической функции выполняются, то функция периодическая.
Способ 2. Поскольку равенство должно выполняться для любого из области определения функции, то оно выполняется и для 
. Если , то получим следующее уравнение относительно : 
. Решая его, находим: 
Среди чисел 
содержится число . Проверка показывает (см. способ 1), что число - действительно период функции. Таким образом, функция периодическая.
Ответ: функция периодическая.
В рассмотренном примере число не является наименьшим положительным периодом функции . Как хорошо видно из способа 2 среди возможных периодов наименьшим положительным является число 
. К такому же выводу мы бы пришли и в способе 1, если бы решили отдельно уравнение 
. Докажем, что - период функции .
1) Очевидно, что для любого числа 
и 
принадлежат области определения данной функции.
2) 
, так как 
.
б) 
.
Решение: Если предположить, что у данной функции существует период , то для любого , 
, должно выполняться равенство 
. После упрощений получим: 
, или 
. Очевидно, что число вида , , периодом заданной функции не является, поэтому 
. Тогда последнее уравнение равносильно уравнению 
. В левой части его стоит число, в правой – функция от и , т.е. можно найти только как функцию от . А это значит, что не существует такого фиксированного числа , для которого равенство выполняется при любом . Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: функция не является периодической.
в) 
.
Решение: Область определения данной функции задаётся неравенством 
. При 
. Поэтому, учитывая периодичность функции 
, можно утверждать, что для любого 
и верно равенство 
. Но число не может являться периодом данной функции, так как, например, при число 
, значит, не принадлежит области определения функции. Вообще, для любого числа обязательно найдётся число , такое, что , либо не принадлежит области определения функции. В качестве такого можно взять, например, 
. Таким образом, функция не является периодической.
Ответ: функция не является периодической.
Приведённые примеры показывают, что все требования определения периодической функции существенны.
Таким образом, при исследовании функции на периодичность можно действовать по следующему плану:
1) Предположить, что число – период функции, и записать равенство, которое должно выполняться для любого из области определения: .
2) Решить полученное уравнение относительно . При этом возможны два способа:
а) Решать уравнение для произвольного значения . Если уравнение будет иметь только корни, зависящие от ( – функция от ), или единственный корень 
, то в этом случае делается вывод, что функция не является периодической. Если уравнение имеет корни, не зависящие от и отличные от нуля, то возможные значения периода следует искать среди этих корней.
б) Решать уравнение для конкретного значения (например, ). Если уравнение 
имеет корни, то среди них нужно искать возможные значения периода. В противном случае функция не имеет периода.
3) Из найденных корней уравнения выбрать наименьшее положительное число и проверить, по определению, не является ли оно периодом функции. Если является, то сделать вывод. Если нет, то проверять на период следующий по величине корень и т.д. до тех пор, пока не найдётся число, являющееся периодом функции.
4) Сделать вывод.
Заметим, что способ а) удобнее применять в тех случаях, когда требуется доказать, что функция не является периодической.
Возможны и другие способы установления периодичности функции.
Пример 4. Найдите наименьший положительный период функции
.
Решение: Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, поэтому для любого числа и также принадлежат области определения функции, где – период функции (если он существует).
Учитывая пример 3 (а), можно утверждать, что функция - периодическая с наименьшим положительным периодом . Аналогично доказывается, что функция 
является периодической с наименьшим положительным периодом . Тогда легко убедиться в том, что функция имеет период . Но является ли наименьшим положительным периодом данной функции? Проверим это, выполнив преобразования:
Функция 
периодическая с наименьшим положительным периодом . Так как для любого 
, то наименьший положительный период данной функции равен 
.
Ответ: .
Определение: Функция называется возрастающей/убывающей на некотором промежутке (подмножестве области определения этой функции), если для любых 
и 
из этого промежутка из неравенства 
следует неравенство 
/ 
.
Функция, только возрастающая или только убывающая на данном промежутке, называется монотонной на этом промежутке.
При исследовании функции на монотонность сравнить значения 
и 
можно разными способами. Например, можно использовать свойства неравенств, или составить разность 
и определить её знак, или при условии 
составить частное 
и сравнить его с единицей, или использовать свойство монотонности элементарных функций и т.д.
Пример 5. Исследуйте функцию на монотонность: 
.
Решение: Функция определена для всех действительных чисел. Возьмём произвольные числа и . Пусть 
. Рассмотрим разность 
. Второй множитель при любых действительных значениях и положителен. Поэтому, учитывая, что 
, получаем 
. Таким образом, 
, а это означает, что данная функция возрастает на всей области определения.
Указанный ответ также можно было получить, учитывая тот факт, что данная функция является суммой двух элементарных функций, которые возрастают на всём множестве действительных чисел.
Ответ: функция возрастает на всём множестве действительных чисел.
Если в задаче требуется найти промежутки монотонности функции, то сначала рассматриваются любые значения из области определения функции, а при сравнении 
и 
обнаруживается, что результат будет зависеть от того, из какого промежутка области определения берутся 
и 
. Таким образом и определяются промежутки исследования функции на монотонность.
Пример 6. Исследуйте функцию на возрастание и убывание на основе определения: 
.
Решение: Область определения функции – любое действительное число. Пусть и - любые два значения аргумента и . Учитывая тот факт, что данная функция приводится к виду 
, воспользуемся свойствами неравенств. Вычтем из обеих частей неравенства по 2. Получаем 
. Далее, для возведения обеих частей неравенства в квадрат, следует рассмотреть два отдельных случая:
если 
, то если 
, то
, 
,
тогда 
. тогда 
.
Прибавим к обеим частям по 1:
, 
,
т.е. 
. т.е. 
.
Значит функция Значит функция
убывает. возрастает.
Ответ: на промежутке 
функция убывает, а на промежутке 
возрастает.
Пример 7. Укажите промежутки монотонного изменения функции
.
Решение: Монотонность данной функции определяется монотонностью двух функций: 
и 
. Первая из этих функций возрастает на всём множестве действительных чисел, а вторая приводится к виду 
и, следовательно, при 
убывает, а при возрастает. Поэтому получим:
 |
а) если 
, то 
, а) если 
, то 
,
тогда 
, т.е. . тогда 
, т.е. .
Значит функция Значит функция
убывает. возрастает.
Ответ: на промежутке функция убывает, а на промежутке возрастает.
Упражнения к занятию:
1.Определите чётной или нечётной функцией является:
1) сумма (разность) двух чётных функций; 2) сумма (разность) двух нечётных функций; 3) произведение (частное) двух чётных функций; 4) произведение (частное) двух нечётных функций; 5) произведение (частное) чётной и нечётной функций.
2.Исследуйте функцию на чётность/нечётность:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
3. Покажите, что любую функцию , определённую на всех действительных значениях аргумента, можно представить в виде суммы чётной функции 
и нечётной функции 
.
4. Докажите, что:
1) период функций 
и 
равен 
, где 
– некоторое положительное число;
2) период функций 
и 
равен 
, где – некоторое положительное число.
5. Какие из следующих функций являются периодическими?
1) 
; 2) 
; 3) ; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
.
Найдите наименьшие положительные периоды функций.
6. Исследуйте функции на возрастание и убывание на основе определения:
1) 
на 
; 2) 
на 
; 3) 
на 
.
7. Докажите, что:
1) если функция возрастает (убывает) на данном промежутке, то функция 
возрастает (убывает) на этом промежутке, где 
– некоторое действительное число;
2) если функция возрастает (убывает) на данном промежутке, то функция 
возрастает (убывает) при 
и убывает (возрастает) при 
на этом промежутке, где – некоторое действительное число;
3) если функция возрастает (убывает) и сохраняет знак на данном промежутке, то функция 
убывает (возрастает) на этом промежутке;
4) если функции и 
возрастают (убывают) на данном промежутке, то функция 
возрастает (убывает) на этом промежутке.
8. Исследуйте функции на возрастание и убывание на основе утверждений, сформулированных в № 7:
1) 
, где 
; 2) 
; 3) 
.
9. Укажите промежутки монотонного изменения каждой из следующих функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
10. Докажите, что:
1) если чётная функция, определённая на всём множестве действительных чисел, в интервале 
возрастает (убывает), то в интервале 
она убывает (возрастает);
2) если нечётная функция, определённая на всём множестве действительных чисел, в интервале возрастает (убывает), то в интервале она возрастает (убывает).
Ответы: 2. 1), 2), 6) чётные; 3), 4), 5) нечётные; 3. Указание: Рассмотрите функции: 
и 
; 5. 1), 2), 4), 6), 7) периодические с периодами , , 
, , ; 3), 5) непериодические; 6. 3) Указание: Примените метод «от противного»; 9. 1) промежутки возрастания 
, промежутки убывания 
; 2) промежутки возрастания 
;
3) промежутки возрастания 
, промежутки убывания 
.
Занятие № 3
Построение графиков функций с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.
Учебная задача: освоить правила построения графиков функций вида 
с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.
В результате студент:
Знает
- свойства основных элементарных функции;
- с помощью каких преобразований из графика функции 
получается график функции 
; 
; 
; 
; 
; 
;
- мнемоническое правило;
Имеет представление
- о возможном порядке выполнения преобразований над графиком функции для получения графика функции 
; 
; ;
- о возможном порядке построения графика функции вида 
на основе рассмотрения вспомогательной системы координат;
Умеет
- строить графики основных элементарных функций;
- обосновывать преобразования, выполняемые над графиком функции ;
- строить график функции вида 
, на основе графика функции 
;
- строить график функции вида 
на основе графика функции 
;
- строить график функции вида 
на основе графика функции 
.
Подготовка к занятию:
Повторить вид графиков элементарных функций.
Содержание занятия:
К числу элементарных функций относятся:
- линейная: 
,
- квадратичная: 
,
- степенная: 
,
- показательная: 
,
- логарифмическая: 
,
- тригонометрические: 
,
- обратные тригонометрические функции: 
.
Новая функция может быть получена из какой-либо более простой функции с помощью действий над аргументом или над самой функцией. Например, любую функцию вида можно рассматривать как функцию, полученную из основной функции 
; функцию вида - как функцию, полученную из основной функции 
. Тогда график новой функции получается из графика основной функции с помощью некоторых преобразований.
Правило 1.Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика сдвинуть вдоль оси 
на 
единиц: верх, если 
; вниз, если 
.
Действительно, сравнивая значения функций и 
при одних и тех же значениях аргумента, можно заметить, что возможны два случая:
- если , то значения функции больше значений функции на 
единиц, следовательно, график функции получается из графика функции параллельным переносом (сдвигом) его на единиц вверх вдоль оси ;
- если , то значения функции меньше значений функции на 
единиц, следовательно, график функции получается из графика функции параллельным переносом (сдвигом) его на единиц вдоль вниз оси .
Далее легко доказывается, что при соответствующем параллельном переносе вдоль оси образ любой точки 
, принадлежащей графику функции , есть точка 
, принадлежащая графику функции , а также обратно.
Таким образом, графики функций вида при постоянном значении 
и различных значениях 
представляют собой семейство параллельных прямых, наклоненных к оси абсцисс под одинаковым углом, тангенс которого равен . Графики функций вида 
- семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины 
.
Правило 2.Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика сдвинуть вдоль оси 
на 
единиц: влево, если 
; вправо, если 
.
Действительно, сравнивая значения аргумента при одинаковых значениях функций и , можно заметить, что возможны два случая:
- если , то функция принимает значения, равные значениям функции , при меньших на 
единиц значениях аргумента, следовательно, график функции получается из графика функции параллельным переносом (сдвигом) его на единиц влево вдоль оси ;
если , то функция принимает значения, равные значениям функции , при больших на 
единиц значениях аргумента, следовательно, график функции получается из графика функции параллельным переносом (сдвигом) его на единиц вправо вдоль оси ;
Далее легко доказывается, что при соответствующем параллельном переносе вдоль оси образ любой точки , принадлежащей графику функции , есть точка 
, принадлежащая графику функции , а также обратно.
Таким образом, графики функций вида 
представляют собой семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины 
. В итоге графики функций вида 
- семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины 
.
Правило 3. Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика отразить от оси .
К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения функций и при одних и тех же значениях аргумента.
Далее, легко доказывается, что при симметрии относительно оси образ любой точки 
, принадлежащей графику функции , есть точка 
, принадлежащая графику функции , а также обратно.
Таким образом, графики функций вида 
- семейство парабол, ветви которых направлены вниз и координаты вершины .
Правило 4. Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика отразить от оси .
К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения аргумента при одинаковых значениях функций и .
Далее, легко доказывается, что при симметрии относительно оси образ любой точки , принадлежащей графику функции , есть точка 
, принадлежащая графику функции , а также обратно.
Правило 5. График функции , где 
, получается из графика функции растяжением в раз вдоль оси при 
; сжатием в 
раз при 
.
Действительно, сравнивая значения функций и при одних и тех же значениях аргумента, можно заметить, что возможны два случая:
- если , то модули значений функции больше модулей значений функции в раз, следовательно, граф