Построение графиков функций, содержащих

Модуль в аналитическом задании.

(практикум)

Учебная задача: формировать умение в построении графиков функций, содержащих модуль в аналитическом задании.

В результате студент:

Знает

- правила построения графиков функций, содержащих модуль аргумента или функции;

- последовательность действий, выполняемых при использовании способа одновременного раскрытия модулей (способа интервалов);

Имеет представление

- о способах построения графиков сложных функций, содержащих знак модуля;

Умеет

- строить графики функций, содержащих модуль в аналитическом задании;

- раскрывать знак модуля.

Подготовка к занятию:

Выучить правила построения графиков функций, содержащих модуль аргумента или функции.

Содержание занятия:

Студенты работают по группам (5 человек в группе). Примерное содержание карточки для группы:

Постройте графики функций с помощью преобразований графиков элементарных функций:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .

За выполнение каждого задания группа может получить максимум 5 баллов. Каждая ошибка в выполнении задания снимает по 1 баллу. Группа может получить подсказку от преподавателя по выполнению задания, но тогда также снимается 1 балл.

По очереди представители из групп рассказывают преподавателю решение заданий. Каждое новое задание рассказывает новый представитель из группы.

Занятие № 8

Построение графиков сложных функций

элементарными средствами.

Учебная задача: формировать умение в построении графиков сложных функций.

В результате студент:

Знает

- определение сложной функции;

- общий метод построения графика суммы (разности), произведения (частного) двух функций;

Имеет представление

- о способе построения графиков сложной функции на основе графиков составляющих ее функций и их свойств;

Умеет

- строить графики суммы (разности), произведения (частного) двух функций;

- строить график сложной функции на основе графиков составляющих ее функций и их свойств.

Подготовка к занятию:

Подготовить ответы на вопросы:

а) Как найти область определения функции, полученной как сумма (разность, произведение) других функций?

б) Как найти область определения функции, полученной как частное других функций?

в) Что называется целой частью числа?

г) Что называется дробной частью числа?

Содержание занятия:

Основные элементарные функции могут соединяться между собой с помощью арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и новой операции взятия функции от функции.

Общий метод построения графика суммы или разности двух функцийзаключается в том, что предварительно строятся графики двух данных составляющих функций, а затем складываются или вычитаются ординаты точек построенных графиков при одних и тех же значениях х. При сложении (вычитании) ординат можно пользоваться циркулем.

Пример 1. Постройте график функции .

Решение: Данная функция есть разность функций и , определенных на всей числовой оси. Поэтому строим графики функций и . Вычитаем ординаты точек построенных графиков при одних и тех же значениях (рис. 10).

Отметим, что прямые и являются асимптотами полученного графика.

Замечание. Если задана разность двух функций, то ее можно заменить суммой уменьшаемой функции и вычитаемой, взятой с противоположным знаком ( ).

При построении графика произведения или частного двух функций для надо предварительно выразить ординаты точек графиков исходных функций числами и лишь, затем умножить (разделить) эти числа с учётом их знаков.

Пример 2. Постройте график функции

Решение: Данная функция есть частное функций и определенных на всей числовой оси. Поэтому строим графики функций и . Выражаем ординаты точек построенных графиков числами и делим соответствующие числа с учетом их знаков. Отметим, что при конечная функция будет неопределенна (рис. 11).

Следует также учитывать, что полученный график есть график четной функции, являющейся частным двух нечетных функций.

Замечание. Если задано частное двух функций, то его можно заменить произведением делимой функции и функции, обратной для делителя ( ).

При построении графика функции по графику функции , учитывают, что функция определена для тех значений , при которых . Нули функции задают точки разрыва и вертикальные асимптоты графика функции . Далее используются свойства функции , а именно множество значений, чётность \ нечётность, периодичность, монотонность.

Замечание. Для построения графика функции по графику функции можно также использовать преобразование инверсии относительно оси абсцисс для графика функции .

Пример 3. Постройте график функции .

Решение: выполним исследование функции , используя свойства функции . Функция определена на всей числовой прямой и равна нулю только при . Следовательно, область определения функции : . Прямая - вертикальная асимптота графика функции . Функция принимает все возможные действительные значения, значит и функция принимает все возможные действительные значения, кроме . Функция нечетная, следовательно, и функция нечетная, т.е. ее график симметричен относительно начала координат. Поскольку на интервале функция возрастает и сохраняет знак, то функция на этом интервале убывает. Итак, в качестве вспомогательного стоим график функции и на основе него получаем график функции (рис.12).

Отметим, что прямая является горизонтальной асимптотой полученного графика.

Определение: Функция называется сложной, если она представлена в виде функции от некоторого аргумента, являющегося в свою очередь функцией независимой переменной.

Нахождение области определения и множества значений сложной функции удобно осуществлять в виде многошаговой процедуры, на каждом шаге которой находится область определения и множество значений некоторой элементарной функции. При этом решение задач на нахождение множества значений сложной функции существенно упрощается, если учитываются такие свойства как непрерывность и монотонность функций, входящих в сложную.

График сложной функции обычно строится на основе графиков составляющих ее функций и их свойств.

Пример 4. Представьте функцию как сложную. Укажите ее область определения и множество значений. Постройте график.

Решение. Введем обозначения: , . Таким образом, исходная функция есть сложная функция . Функция определена на всей числовой оси и принимает все значения из интервала . Функция определена на интервале . Значит область определения данной сложной функции находится из условия и есть интервал . На указанной области определения функция принимает все значения из интервала и является возрастающей. Функция убывает на области определения. Тогда данная сложная функция является убывающей и принимает все значения из интервала .

График данной сложной функции можно построить на основе графиков функций и и их свойств (рис. 13). Учитываем также проведенное выше исследование.

Отметим, что прямая является горизонтальной асимптотой, а прямая - вертикальной асимптотой полученного графика.

Ответ: , где , ; область определения: ; множество значений: .

Упражнения к занятию:

1. Найдите область определения суммы, разности, произведения, частного функций и .

2. Постройте графики функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

3. Представьте функцию как сложную

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Укажите ее область определения и множество значений. Постройте график.

4. Можно ли из функций и составить сложную функцию?

5.Постройте графики функций: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Рекомендуемая литература

1. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2000.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 2000.

3. Ашкиназе В.Г., Шоластер Н.Н. Алгебра и элементарные функции. – М.: Просвещение, 1964.

4. Вирченко Н.Н. и др. Графики функций. – Киев: Наукова Думка, 1979.

5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1986.

6. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М.: Просвещение, 1968.

7. Гельфанд И.М. и др. Функции и графики. – М.: Наука, 1973.

8. Гольдберг А.Г. Функции и их исследование. – Л.: Учпедгиз, 1957.

9. Гурский И.П. Функции и построение графиков: Пособие для учителей.– М.: Просвещение, 1968.

10. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк./ Б.М. Ивлев, А.Б. Абрамов, Ю.Д. Дудницин, С.И. Шварцбург. – М., 1990.

11. Задачи по математике. Начала анализа: Справ. пособие/ В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко – М.: Наука, 1990.

12. Кузьмин М. К. Построение графика функции у = сf(ах – b) + d// Математика в школе – 2003 - № 5.

13. Мордкович А.Г. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 1999.

14. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2000.

15. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2000.

16. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2001.

17. Новиков А.И. Свойства функций и задача нахождения множества значений функций /Математика в школе, 2005, № 5.

18. Пособие по элементарной математике: методы решения задач/ Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова, Е.Н. Перевощикова, А.Н. Пыжьянова, Ч. II. – Н. Новгород, 2000.

19. Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.: Bысш. шк., 1991.

20. Тапатор И.Я. Геометрические преобразования графиков функций. – М.: Учпедгиз,1960.

21. Худобин А.И. и др. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1970.

Список задач к зачёту

1. Найдите область определения функции:

1) ;2) ;