Полный факторный эксперимент
При планировании по схеме полного факторного эксперимента реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Необходимое количество опытов N при полном факторном эксперименте определяется по формуле N = рк, где р — количество уровней, k — число факторов.
Если эксперименты проводятся на двух уровнях, то постановка опытов по такому плану называется иолным факторным экспериментом типа 2к. Каждый фактор, участвующий в процессе, имеет определенный предел изменения своей величины. Совокупность всех значений, которые принимает фактор, называется областью определения фактора. Но в области определения надо найти локальную подобласть для планирования эксперимента, т. е. для каждого фактора необходимо указать тот интервал изменения параметров, в пределах которого проводятся исследования. Для этого на основании априорной информации устанавливаются ориентировочно значения факторов, комбинации которых дают наилучший результат. Этой комбинации значений факторов соответствует многомерная точка в факторном пространстве, которая принимается за исходную при построении плана эксперимента. Координаты этой точки называются основными уровнями факторов.
После того как основной уровень выбран, переходим к следующему шагу — выбору интервалов варьирования. Интервалом варьированияфактора называется некоторое число, прибавления которого к основному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фактора.
Поскольку факторы изучаемого процесса неоднородны и имеют различные единицы измерения, их следует привести к единой системе исчисления путем перехода от действительных значении факторов к кодированным по формуле
xj – кодированное значение фактора;
x̑j – натуральное значение фактора;
x̑0j - натуральное значение фактора на основном уровне;
j – номер фактора;
𝛥x̑j – интервал варьирования.
В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1, нижний — соответственно —1, координаты основного уровня равны нулю. Для случая N— 22 условия проведения эксперимента записываются в виде таблицы, которую называют матрицей планирования эксперимента (табл. 1). Строки соответствуют различным опытам, столбцы — значениям факторов (единицы для упрощения записи опущены).
Таблица 1
Матрица планирования 22
| Номер опыта | х0 | х1 | х2 | у |
| + + | - + | - - | ||
| + | - | + | ||
| + | + | + |
Построение матриц планирования основано на правиле чередования знаков. В первом столбце они меняются поочередно, во втором чередуются через два, в третьем — через четыре и т. д. по степеням двойки. По результатам эксперимента определяются коэффициенты математической модели
Чтобы провести процедуру вычисления коэффициента b0 в соответствии с формулой (1), в матрицу планирования введен столбец фиктивной переменной х0, которая во всех опытах принимает значение +1.
Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента bj, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак « + », то с увеличением значения фактора у увеличивается, а если «—», то уменьшается.
Планируя эксперимент, мы стремимся получить линейную модель. Однако у нас нет уверенности в том, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект (влияние) одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Это означает, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов (табл. 2). Математическая модель выглядит следующим образом
Таблица 2
Матрица планирования эксперимента 22 с эффектом взаимодействия
| Номер опыта | х0 | х1 | х2 | x1x2(x3) | y |
| + + | - + | - - | + - | y1 y2 | |
| + | - | + | - | y3 | |
| + | + | + | + | y4 |
Коэффициент b12 вычисляется аналогично по формуле (1).