Свойства операций над множествами
Теорема 1. Для операций над множествами справедливы следующие свойства:
| 1. АÈB=ВÈА | 1’. АÇB=ВÇА | Коммутативность |
| 2. ( АÈB)ÈС= АÈ(BÈС) | 2’. ( АÇB)ÇС= АÇ(BÇС) | Ассоциативность |
| 3. АÈ(BÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС) | 3’. АÇ(ВÈС)=(АÈВ)Ç(АÈС) | Дистрибутивность |
| 4. АÈ А=А | 4’. АÇА=А | Идемпотентность |
5. 
| 5’. 
| Законы де Моргана |
| 6. АÈ (АÇВ)=А | 6’. АÇ(АÈВ)=А | Законы поглощения |
7. АÈ  = U
8. АÈ U= U
9. АÈÆ= А
| 7’. АÇ =Æ
8’. АÇU=A
9’. АÇÆ=Æ
| Законы пустого и универсального множества |
10.  =А
| Закон инволюции | |
11. А\В=АÇ 
| Закон исключения разности |
Доказательство. Докажем свойство 1.
Левая часть выражения 1 
состоит по определению 5 из элементов, принадлежащих либо А, либо В, либо А и В. Правая часть 
состоит из элементов, принадлежащих либо В, либо А, либо В и А. Очевидно, что левая и правая часть равенства 1 состоит из одних и тех же элементов следовательно по определению 1, 
.
Докажем свойство 11: 
= 
методом встречных включений
а) 
и 
и 
б) 
и 
и 
в) из 
и 
следует 
Остальные свойства доказываются аналогично.
Замечание 1. Операции пересечения и объединения можно сформулировать в общем виде для конечного и бесконечного числа множеств.
Замечание 2. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В бесконечном случае различают счетные множества (например, ℤ) и множества мощности континуум (например, ℝ).
Если конечное множество M состоит из n элементов, то пишут |M|=n, т.е. |M| -мощность множества M.
Таким образом, мощность конечного множества – это число элементов данного множества.
Пусть M – множество. Обозначим через P(M) - совокупность всех подмножеств множества M.
Утверждение. Если |M|=n, то |P(M)|=2n. Другими словами, у конечного множества мощности n существует ровно 2n попарно различных подмножеств.
Например, если А={1,2}, то |A|=2 и |P(A)|=4.