Функциональное отношение. Функции
Определение 39. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если 
из (a,b) 
f и (a,c) f 
b=c.
A
B A B
функциональное отношение, не является функцион. отношением
но не функция
Определение 40. Функциональное отношение f между множествами A и B называется функцией или отображением A в B, если Dom f =A,и обозначается
f : A 
B или A B.
A f
Функция и
функциональное отношение
B
Замечание. Если f : A B – функция, то каждому элементу a A соответствует единственный элемент b B и записывается f(a)=b 
(a,b) f a f b.
Определение 41. Пусть f : A B функция, a A, b B. Если f(a)=b, то b называется образом элемента a при отображении f ; элемент a называется прообразом элемента b при отображении f.
A
f
B
Определение 42. Пусть дана функция f:A B, A0 
A. Множество f(A0)={f(a)|a A0} называется образом множества A0 при отображении f.
 |
A B
f
 |
f(A0)
Определение 43. Пусть f : A B функция, b B.
Множество f-1(b)={a A|f(a)=b} называется полным прообразом элемента b при отображении f.
 |  |
A
B
 |
a1, a2 – прообразы b.
{a1,a2} – полный прообраз при отображении f.
Определение 44. Пусть f : A B функция, B0 B.
Множество f-1(B0)= 
называется полным прообразом множества B0 при отображении f.
Отметим, что f-1(B)=A, f(A) B.
Определение 45. Отображение f : X Y называется инъективным (или взаимно-однозначным отображением X в Y), если 
x1, x2 X из x1 
x2 f(x1) f(x2). «разным соответствуют разные»
Замечание. На практике при проверке свойства инъективности используют другую формулировку.
Определение 46. Отображение f : X Y называется инъективным, если x1,x2 X из f(x1)=f(x2) x1=x2. «если образы равны, то и прообразы равны»
Определение 47. Отображение f : X Y называется сюръективным (или отображением X на Y), если Im f совпадает с Y (Im f = Y), т. е.
y Y 
x X т. что f(x) = y. «для всякого образа найдётся прообраз»
Определение 48. Отображение f : X Y называется биективным (взаимно-однозначным отображением X на Y), если f инъективно и сюръективно.
Биективное отображение называется биекцией, инъективное – инъекцией, сюръективное – сюръекцией.
 |  |
A f B
не является инъекцией
 |
f B
A инъекция, не сюръекция
 | |
 |
A B
f
сюръекция, инъекция
биекция
 |