Виды бинарных отношений
Определение 20. Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным, если ∀a 
А: (а;a) R (т.е. aRa).
Пример. «=»на множестве ℝ.
Определение 21. Бинарное отношение R на множестве А называется антирефлексивным, если ∀а А: (a;a) 
R .
Пример. «<»на множестве ℝ.
Определение 22.Бинарное отношение R на множестве А называется симметричным, если 
a,b A,из (а,b) R 
(b,a) R.
Пример. «∥» на множестве всех прямых в пространстве, «=» на множестве ℝ.
Определение 23.Бинарное отношение R на множестве А называется антисимметричным, если a,b A, из (а,b) R и (b,a) R a=b.
Пример. Отношения 
,=,<,> на множестве ℝ.
Определение 24.Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным, если a,b,с A, из (а,b) R и (b,с) R (а,с) R.
Пример.«∥» на множестве всех прямых в пространстве, отношения ,=,<,> на множестве ℝ
Cвойства отношений
Пусть 
= 
(a,a)|a A 
- диагональ декартова квадрата A2=A 
A.
Лемма 1. Пусть R - бинарное отношение на множестве A. Тогда
1) R рефлексивно 
R;
2) R антирефлексивно R 
= 
.
Доказательство.
1) а) Необходимость. Пусть R рефлексивно. Покажем, что 
R. Действительно, = (а,а) |а А R по определению 20, т.к. ∀a А: (а;a) R R.
б) Достаточность. Пусть 
R. Покажем, что R рефлексивно. Пусть а А. Покажем, что (а,а) R. Так как (а,а) 
R, т.е. (а,а) R по определению 20 R рефлексивно.
2) а) Необходимость. Пусть R антирефлексивно. Покажем, что R = . Допустим, что R 
(x,y) R (x,y) R и (x,y) x=y, т.е. (x,x) R –противоречие с определением 21 допущение неверно R = .
б) Достаточность. Пусть R = . Покажем, что R антирефлексивно. Для этого достаточно показать, что R удовлетворяет определению 21. Пусть а А. Покажем, что (а,а) R. От противного, допустим, что (а,а) R (a,a) R = , противоречие (а,а) R. 
Лемма доказана.
Определение 25. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B.
Множество R-1 = (m,n) | (n,m) R называется бинарным отношением, обратным бинарному отношению R.
Лемма 2. Пусть R - бинарное отношение на множестве A. Тогда
1) R симметрично R-1=R;
2) R антисимметрично R R-1 .
Доказательство. 1) а) Необходимость. Пусть R симметрично. Методом встречных включений покажем, что R-1=R.
Докажем, что R-1 R . Действительно, R-1 = (m,n) | (n,m) R . Но так как R симметрично, то, по определению 22, из (n,m) R следует (m,n) R
R-1 R.
Доказательство R R-1 проводится аналогично.
б) Достаточность. Пусть R-1=R. Покажем, что R симметрично. Пусть (n,m) R. Покажем, что (m,n) R. Так как (n,m) R= R-1 (n,m) R-1 (m,n) R R симметрично.
2) а) Необходимость. Пусть R антисимметрично. Покажем, что R R-1 . Пусть (x,y) R R -1 (x,y) R -1 и (x,y) R (x,y) R и (y,x) R , и так как R антисимметрично x=y.
б) Достаточность. Пусть R - бинарное отношение на А и R R-1 . Докажем, что R антисимметрично. Предположим, что это не так. Тогда найдётся хотя бы одна пара (a,b) R такая, что (b,a) R и a≠b (по определению R-1) (a,b) R и (a,b) R-1. Таким образом, (a,b) R R-1 
a=b, противоречие предположение неверно. Лемма доказана.
Определение 26. Пусть R, S - бинарные отношения на множестве А.
Множество R.S={(x,y) | 
y A: (x,y) S и (y,z) R} называется произведением бинарных отношений R и S.
Лемма 3. Пусть R - бинарное отношение на множестве A. Тогда R транзитивно R.R R.