Пример решения задачи. Двухопорная балка двутаврового сечения нагружена системой поперечных сил и изгибающих моментов
Задача
Двухопорная балка двутаврового сечения нагружена системой поперечных сил и изгибающих моментов.
Провести проверку жесткости балки, если размер её поперечного сечения – двутавр №27а, 
, 
(где L – расстояние между опорами).
Решение
1. Построим эпюры поперечной силы 
и изгибающего момента 
.
2. Определим перемещения незакрепленных сечений балки: С, D, К методом Мора.
Для определения прогиба сечения С разгрузим балку от внешних нагрузок и приложим к этому сечению единичную безразмерную сосредоточенную силу в направлении перемещения (вертикально). Построим от её действия единичную эпюру изгибающих моментов 
, определив предварительно из уравнений равновесия реакции в опорах: 
, 
.
«Перемножим» грузовую эпюру моментов на единичную , используя формулу Симпсона (2). Количество участков перемножения k=4: СА, AD, DK и KB. Методом сечений найдем значения грузового и единичного моментов посередине длины каждого участка.
Тогда: 
,
где модуль Юнга 
, момент инерции для двутавра №27а определяем по сортаменту: 
. Значение перемещения 
получили положительное, следовательно, приложенная в точке С единичная сила показывает истинное направление перемещения. Таким образом, при изгибе балки сечение С смещается вниз на 2,8мм.
Аналогично определим прогиб балки в сечении D. Вновь разгрузим балку от внешних нагрузок и приложим к сечению D единичную силу. Построим единичную эпюру 
и найдем перемещение 
по формуле Симпсона. При этом количество участков перемножения k=3: AD, DK, KB.
Знаки «–» в квадратных скобках означают, что на всех участках перемножения грузовая и единичная эпюры расположены с разных сторон от осевой линии, т.е. перемножаемые в формуле Симпсона моменты имеют противоположные знаки. Полученное отрицательное значение перемещения говорит о том, что сечение D смещается в сторону, противоположную направлению приложенной единичной силы. Таким образом, сечение D смещается вертикально вверх на 4,5мм.
Определим прогиб сечения К. Разгрузим балку от внешних нагрузок и приложим к сечению К единичную силу. Построим единичную эпюру 
и найдем перемещение 
по формуле Симпсона. При этом количество участков перемножения k=3: AD, DK, KB.
Таким образом, сечение К балки смещается вверх на 4,4мм.
3. Изобразим приближенный вид изогнутой оси балки и определим максимальный прогиб 
.
Изобразим сначала прямолинейную ось балки, какой она была до приложения нагрузки. Отметим в граничных сечениях найденные значения перемещений, учитывая, что закрепленные сечения А и В сместиться не могут: 
(вниз), 
, 
(вверх), 
(вверх), 
. Соединим полученные точки плавной кривой выпуклостью вверх, т.к. эпюра изгибающих моментов , построенная на растянутых волокнах, полностью лежит выше осевой линии.
По виду изогнутой оси балки определяем, что максимальный прогиб получился в сечении D: 
.
4. Проверим выполнение условия жесткости. Найдем численное значение допускаемого перемещения: 
. Тогда:
> 
,
следовательно, условие жесткости не выполняется.
Задача решена. 