Калибровки
Уравнения Максвелла. Потенциалы
Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме:
или
![]() | (1) |
Теорема Гаусса в операторной форме:
Теорема Стокса в операторной форме (рис.1):
где
Потенциалы электромагнитного
поля:
![]() | ![]() |
где
Подставим соотношения (2) в уравнения Максвелла (1):
![]() | (3) |
это уравнение превращается в тождество, так как
так как
получим тождество
Раскрыв двойное векторное произведение, получим:
![]() | (4) |
Градиентная инвариантность
Если заданы потенциалы А и , то этим вполне однозначно задаются Е и Н, а значит, и поле. Однако одному полю могут соответствовать разные потенциалы [2, § 18]:
![]() | (5) |
При таком переходе
и
Таким образом, физический смысл имеют лишь те величины, которые инвариантны по отношению к преобразованию потенциалов (5). Поэтому все уравнения должны быть инвариантны относительно этого преобразования. Эту инвариантность называют градиентной (калибровочной).
Калибровки
Калибровками называются дополнительные ограничения, которые накладываются на потенциалы А и , чтобы уравнения для потенциалов в конкретном случае были удобны для решения.
1. Калибровка Лоренца:
![]() | (6) |
С учетом градиентной инвариантности (5) из (6) получим:
Отсюда следует условие, ограничивающее вид в градиентном преобразовании:
, где □ - оператор Даламбера,
![]() | (7) |
Из уравнения Максвелла в формуле (3) с учетом уравнения (6) получим:
![]() | (8) |
Для получим:
Подставим в (5)
![]() | (9) |
2. Калибровка Кулона:
Условие на f:
3. Калибровка поперечных волн: