Функция Грина волнового уравнения
Для нахождения функции Грина воспользуемся преобразованиями Фурье:
В частности, для фурье-образа дельта-функции получим:
Использование фурье-преобразований позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим по правилам замены операторов алгебраическими множителями:
Функция Грина оператора Даламбера: 
Перейдем к фурье-образу по времени:
- оператор Гельмгольца;
Перейдем к фурье-образу по координатам:
Связь фурье-образа с прообразом:
| (10) |
Вычислим интеграл (10). Перейдем к сферическим координатам:
Проинтегрируем по углу:
Данный интеграл находится с помощью теоремы о вычетах [5, с. 212]. Знаменатель имеет два полюса: k=+k0. Оба они лежат на действительной оси. Выберем контур интегрирования, как показано на рис.З. Вычет подынтегральной функции в точке k0 (полюс первого порядка) равен
Тогда 
Здесь воспользовались свойством четности дельта-функции. Перейдя к исходным переменным
получим:
Сделаем замену переменных:
где 
Это дает: 