Хвилі типу Е в круглому хвилеводі

 

Умова існування хвиль типу Е: , .

Представимо вирішення у вигляді добутку двох функцій

.

Підставим цей вираз у (73) і після ділення на дістанемо два незалежних рівняння

а)

б) (74)

Рівняння (74) ідентичне рівнянню (46) і тому його вирішення

, (75)

де ; ; m - ряд цілих чисел.

Рівняння (74 б) - це рівняння Бесселя. Його вирішення

. (76)

Зауважимо, що функція Неймана при . Для того, щоб використа­ти Nm, як вирішення (76) необхідно сподіватися, що амплітуда ,

що не відповідає фізичному змісту, тому приймемо, що А3=0.

Тоді вирішення буде

. (77)

Позначимо добуток A1A2=E0z, тоді

. (78)

Геометрія хвилеводу така, що він має циліндричну симетрію, тому струк­тура Ez не повинна залежати від величини початкового куту , тому приймемо

.

Тоді (78) прийме вигляд

. (79)

Знайдемо Ккр за допомогою граничної умови , або для КХ

при r=R.

З (79) виходить, що Ez(R)=0, якщо Jm(KкpR)=0, тобто треба знати такі значення аргументу KкpR, при яких функція Jm(KкpR) перетинає вісь аргументу. Такі зна­чення аргументу, як відомо, звуться коренями відповідного рівняння. Позначи­мо їх . Тут m - порядок функції Бесселя, n - номер кореня. Далі ми будемо використовувати вирази (11) та (12), а при цьому доведеться брати похідні , тобто буде необхідно знати також корені похідної від функцій Бесселя - ; приклад для функції J0 зображений наhbc.2.15.

Рисунок 2.15 - Функція J0 та її похідна J0’

 

Таблиця 1 - Значення коренів функції Бесселя та їх похідних

 

         
n            
m            
2,405 5,520 8,65 3,832 7,016 10,17
3,832 7,016 10,17 1,841 5,332 8,57
5,135 8,417 11,62 3,054 6,705 9,97
6,379 9,761 13,02 4,201 8,015 11,34

 

Кожному значенню відповідає своє значення Ккр, позначим його , тому , а звідси отримаємо

. (80)

Хвиля буде розповсюджуватися, коли , або , звідки . Знайдемо .

- підставимо сюди з (80) і отримаємо

. (81)

З (81) отримаємо умову поширення хвиль типу Е в круговому хвиле­воді з радіусом R

(82)


Структуру поперечніх складових знайдемо з використанням (11) та (12). За­уважимо, що в циліндричній системі координат оператор має вигляд

і з його використанням отримаємо вирази для попереч-ніх складових е.м.п. хвиль типу Е в круглому хвилеводі

(83)

В (83) штрих позначає похідну від функції Бесселя по всьому аргументу. Висновки:

1. вирази (78) та (83) показують, що поле в поперечному перерізі зале-­
жить від та r, причому m - число стоячих півхвиль по азимуту, n - по радіусу.

Маючи на увазі цей висновок, для хвиль типу Е вводять позначення .

2. Зіставляючи вирази (82) та (83) можемо прийти до висновку, що індекс m може приймати значення, починаючи з нуля, а індекс n - починаючи з одиниці (n - номер кореня).

3. З даних, що приведені в таблиці 1 видно, що найнижчим типом серед хвиль типу Е є хвиля типу Е01. Її критична довжина хвилі .

Для прикладу розглянемо структуру поля хвилі Е01.

Підставимо m=0, n=1 в (82) та (83) і отримаємо

(84)

Як видно з цих виразів, варіацій по азимуту немає, а по радіусу - закон функції Бесселя, та її похідної -рис.2.16.


 

Рисунок 2.16- Розподіл - а) та , - 6)

 

Розглядати будемо, як завжди - спочатку по складовим, а потім повну структуру.

При побудуванні картин розподілення складових хвилі Е01 зауважимо, що, як виходить з (84), ці розподілення не залежать від координати , тобто, якщо розвернути коло в пряму лінію, то , , =const, а не з різними значеннями, наприклад для Ez -рис. 2.17.

 

Рисунок 2.17 - Розподіл складової

 

Структура та розподіли складових та зображені на рис. 2.18, а складової - нарис. 2.19

Рисунок 2.18 - Структура та розподіли складових - а) та - б)


 

Рисунок 2.19 - Структура та розподіл складової

 

Повна структура е.м.п. хвилі Е0і зображена на рис.2.20.

 

Рисунок 2.20 - Повна структура е.м.п. хвилі Е01 для КХ

 

По причині незалежності структури поля хвилі Е01 від азимутальної коор­динати, ця хвиля використовується в хвилеводних пристроях, що призначені для обертання однієї частини хвилеводу відносно іншої.

Далі розглянемо хвилі типу Н круглого хвилеводу.