Примеры решения задач. Пример. Определить векторный потенциал и индукцию магнитного поля бесконечного прямого цилиндрического проводника с током J

Пример. Определить векторный потенциал и индукцию магнитного поля бесконечного прямого цилиндрического проводника с током J. Радиус сечения проводника R, магнитная проницаемость материала проводника m. Окружающая среда – вакуум.

Пусть - векторный потенциал в области r £ R и - векторный потенциал в области r ³ R, причем и .

Совместим ось Oz цилиндрической системы координат с осью проводника. В силу аксиальной симметрии задачи и A = A_z, т.к. j = j_z. Учитывая, что , получаем следующие уравнения:

и .

В результате интегрирования имеем

и .

При этом индукция магнитного поля ( ) и, следовательно,

, .

Из условия ограниченности индукции магнитного поля при r = 0 следует, что С₁ = 0. Кроме того, в качестве точки нулевого векторного потенциала примем точку r = 0. Тогда С₂ также будет равным нулю. Таким образом,

и .

Для нахождения постоянных С₃ и С₄ воспользуемся непрерывностью векторного потенциала и непрерывностью тангенциальных составляющих векторов напряженности на границе раздела сред, т.е при r = R: A₁(R) = A₂(R) и . Подставляя соответствующие значения, получаем два уравнения:

и .

Отсюда получаем и . Тогда

и .