II. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
В практических приложениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайных величин, образующими систему. Систему случайных величин можно описать в виде многомерных законов распределения , либо приближенно при помощи статистических характеристик.
При рассмотрении вопросов, связанных с системами случайных величин, удобно пользоваться геометрической интерпретацией. Например, систему из двух случайных величин можно изобразить случайной точкой на плоскости с координатами
и
(рис. 8, а).
Рис. 8. Система двух случайных величин:
а) – графическая интерпретация; б) – положительная корреляция величин и
; в) – отрицательная корреляция величин
и
; г) – величины
и
некоррелированы.
Совокупность математических ожиданий mx, my представляет собой характеристику положения системы. Геометрически – это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание.
Рассеивание случайной точки в направлении осей OX и OY характеризует дисперсии величин и
: Dx и Dy .
При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Понятие о зависимости случайных величин – одно из важнейших понятий теории вероятностей, где мы встречаемся с более общим типом зависимости, чем функциональная – вероятностнойили статистической зависимостью.
Если случайные величины и
находятся в вероятностной зависимости, то это не означает, что с изменением величины
величина
изменяется вполне определенным образом (как при функциональной зависимости двух величин); это лишь означает, что с изменением величины
величина
имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании
). Эта тенденция соблюдается лишь в среднем, и в каждом отдельном случае от нее возможны отступления.
Численно статистическая зависимость между двумя случайными величинами выражается при помощи корреляционного момента, который вычисляется по формулам:
· для дискретной случайной величины
, (II.1)
или
. (II.1)
· для непрерывной случайной величины
(II.1)
В случае, если X=Y, корреляционный момент равен дисперсии случайной величины : Kxy=Dx.
В практических задачах для оценки степени корреляции между двумя величинами удобнее пользоваться относительной характеристикой, называемой коэффициентом корреляции:
, (II.2)
где .
Если rxy>0, то между случайными величинами и
существует положительная корреляционная зависимость. Это означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать (рис. 8, б).
При отрицательной корреляции rxy>0, что означает, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию убывать (рис. 8, в)
При rxy=0 случайные величины статистически независимы (рис. 8, г).
Если , то можно считать, что рассматриваемые величины
и
связаны функциональной зависимостью.