Равномерное распределение

Плотность распределения

Так как в выражение для функции распределения не входит аргумент X, то обычная техника использования принципа максимального правдоподобия здесь неприемлема. Однако в этом случае экстремальная задача может быть решена непосредственно.

Функция правдоподобия

Параметры a и b отыскиваются из ряда наблюдений ,причем

;

Очевидно, что решение экстремальной задачи будет достигаться в том случае, когда

т.е. для равномерного распределения эффективные оценки математического ожидания и дисперсии будут находиться через минимальные и максимальные значения ряда наблюдений. Поэтому эффективной оценкой математического ожидания является полуразмах

, (2.42)

а дисперсия

. (2.43)

Для других симметричных распределений предлагается определять эффективную оценку математического ожидания в зависимости от величины оценки островершинности (эксцесса) их распределений

- 3.

Если т.е. распределение близко к экспоненциальному (Е=3), то за оценку математического ожидания лучше взять медиану.

Если - , т.е. распределение близко к нормальному ( ), то за ее оценку лучше взять среднее арифметическое.

Если Е<-0,5, т.е. распределение близко к равномерному, то наиболее целесообразно оценкой математического ожидания считать полуразмах. Эффективные оценки дисперсии в этих случаях соответствуют эффективным оценкам дисперсии указанных распределений (табл.2.2).

Таблица 2.2 - Эффективные оценки математического ожидания и СК0 симметричных распределений