Совместные измерения
Совместными называются проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними
. (3.38)
Наиболее часто на практике определяют зависимость Y от одного аргумента x
(3.39)
При этом совместно измеряют n значений аргумента xi, i = 1, 2, ... , n и соответствующие значения величины Yi и по полученным данным определяют функциональную зависимость (3.39). Этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем. Применяемые при этом методы прямо переносятся на зависимость от нескольких аргументов.
В метрологии совместные измерения двух аргументов применяются при градуировке СИТ, в результате которой определятся градуировочная зависимость, приводимая в паспорте СИТ в виде таблицы, графика или аналитического выражения. Предпочтительнее всего задавать ее в аналитическом виде, поскольку такая форма представления наиболее компактна и удобна для решения широкого круга практических задач.
Примером совместных измерений может служить задача определения температурной зависимости сопротивления терморезистора
R(t) = R20+ a(t-20) + b(t -20)2,
где R20 – сопротивление терморезистора при 20 оС;
a, b – температурные коэффициенты сопротивления.
Для определения R20 , a или b производится измерение R(t) в n температурных точках (n>3) и по этим результатам определяется искомая зависимость.
При определении зависимости в аналитическом виде следует придерживаться следующего порядка действий.
1. Построить график искомой зависимости Y=f(x).
2. Задать предполагаемый функциональный вид зависимости
Y=f(x, A0, A1, … Am), (3.40)
где Aj – неизвестные параметры зависимости.
Вид зависимости может быть известен либо из физических закономерностей, описывающих явление, положенное в основу работы СИТ, либо на основе предыдущего опыта и предварительного анализа данных (анализ графика искомой зависимости).
3. Выбрать метод определения параметров этой зависимости. При этом необходимо учитывать выбранный вид зависимости и априорные сведения о погрешности измерения xi и Yi.
4. Вычислить оценки параметров A j зависимости выбранного вида.
5. Оценить степень отклонения экспериментальной зависимости от аналитической, для проверки правильности выбора вида зависимости.
6. Определить погрешности нахождения , используя известные характеристики случайных и систематических погрешностей измерения x и Y.
В современной математике разработаны многочисленные методы решения таких задач. Наиболее распространенными из них является метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод разработал Карл Фридрих Гаусс еще в 1794 г. для оценки параметров орбит небесных тел и до сих пор он с успехом используется при обработке экспериментальных данных.
В МНК оценки параметров искомой зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от расчетных значений минимальна, т.е.
, (3.41)
где - невязки.
При рассмотрении МНК ограничимся случаем, когда искомая функция – полином, т.е.
. (3.42)
Задача заключается в том, чтобы определить такие значения коэффициентов , при которых выполнялось бы условие (3.41).
Для этого запишем выражение для невязок в каждой экспериментальной точке
(3.43)
Число точек n выбирают значительно больше, чем m+1.
Это, как будет показано ниже, необходимо для уменьшения погрешности определения .
Согласно принципу наименьших квадратов (3.41), наилучшими значениями коэффициентов будут те, для которых сумма квадратов невязок
(3.44)
будет минимальна. Минимум функции многих переменных , как известно, достигается тогда, когда все ее частные производные равняются нулю. Поэтому дифференцируя (3.44), получаем
. (3.45)
Следовательно, вместо исходной условной системы (3.42), которая вообще говоря есть система несовместная, так как имеет n уравнений с m+1 неизвестными (n > m+1), мы получим систему линейных относительно уравнений (3.45). В ней число уравнений при любом n точно равно числу неизвестных m+1. Система (3.45) называется нормальной системой.
Таким образом, поставленная задача заключается в приведении условной системы к нормальной.
Воспользовавшись обозначениями, введенными Гауссом
,
,
и после сокращения всех уравнений на 2 и перегруппировки членов, получим
. (3.46)
Анализируя выражение (3.42) и (3.46) видим, что для получения первого уравнения нормальной системы достаточно просуммировать все уравнения системы (3.42). Для получения второго уравнения нормальной системы (3.42), суммируются все уравнения, предварительно умноженные на xi. То есть, для получения k-го уравнения нормальной системы необходимо умножить уравнения системы (3.42) на и просуммировать полученные выражения.
Наиболее кратко решение системы (3.45) описывается с помощью определителей
;
; …
,
где главный определитель D равен
, (3.47)
а определители DJ получаются из главного определителя D путем замены столбца с коэффициентами при неизвестном АJ на столбец со свободными членами
. (3.48)
Оценка СКО величин , найденных как результат совместных измерений, выражается следующей формулой
(3.49)
где - алгебраическое дополнение элементов главного определителя D, получаемое путем удаления из матриц определителя столбца (j+1) и строки (j+1);
, (3.50)
где - вычисляются при подстановке в каждое условное уравнение оценок искомых величин
.
Доверительный интервал погрешности определения вычисляют по формуле
, (3.51)
где определяется из распределения Стьюдента по числу степеней свободы (n-m-1) и выбранной доверительной вероятности РД .
При увеличении числа m объем выполненной работы быстро растет и поэтому на практике обычно ограничивается полиномом не выше третьей степени.
МНК и его применению посвящена обширная литература. В ней теоретически показано, что при нормальном распределении погрешностей МНК приводит к оценкам неизвестных, удовлетворяющих принципу максимального правдоподобия.