Раздел 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Таблица 2.1. Используемые обозначения

  Обозначение     Наименование
a, b,c,   Вектор
  | a |, ||   Модуль вектора  
ax, ay, az     Координаты вектора в декартовых координатах  
r1 = (x1, y1, z1), r2 = (x2, y2, z2)   Радиус-векторы точек с координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2)
a · b, ab   Скалярное произведение  
a2   Скалярный квадрат  
  прb a   Проекция вектора a на вектор b
a´b   Векторное произведение
  ^   Знак ортогональности двух векторов  
  ||   Знак коллинеарности двух векторов  
  Ð   Знак угла  
abc, (abc)   Смешанное произведение трех векторов  

Таблица 2.2. Геометрический вектор

  Наименование   Обозначение, формула  
Вектор и его выражение в декартовых координатах a = ax i + ay j + az k = (ax, ay, az)
  Модуль вектора
  Направляющие косинусы вектора и их свойство   ; cos2a + cos2b + cos2g = 1
Сложение двух векторов a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz)
Умножение вектора на скаляр la = (lax, lay, laz)
Вектор с началом в точке A(x1, y1, z1) и с концом в точке B(x2, y2, z2)   = (x2- x1)i +(y2- y1) j + (z2- z1) k
Длина отрезка AB, заданного граничными точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) l = | r2- r1 |; l =
Условие коллинеарности двух векторов a и b (a||b) la = b или
Проекция вектора a на вектор b   прb a = |a| cos j, j =Ð(a,b)
Деление отрезка AB в данном отношении l = AC/CB, где A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), С(x, y, z)   Частный случай: деление отрезка пополам    
Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b d1,2 = | a ± b |; d1,2 =
     

 


Таблица 2.3. Скалярное произведение

Наименование Обозначение, формула
Определение скалярного произведения двух векторов ab = |a|×|b| cosj, j =Ð(a,b)
  Таблица скалярного умножения в декартовых координатах × i j k  
i
j
k
  Скалярное произведение в декартовых координатах   ab = axbx + ayby+ azbz
  Скалярный квадрат   a2 = |a|2 =
Свойства: 1) переместительное 2) сочетательное относительно скалярного множителя 3) распределительное ab = ba l(ab) = (la)b = a (lb) a(b + c) = ab + ac
  Условие ортогональности двух ненулевых векторов   ab = 0 a ^ b
  Условие ортогональности в декартовых координатах   axbx + ayby+ azbz = 0
Приложения: 1) Угол между двумя векторами   2) Проекция вектора a на вектор b cosj = = прb a =

 

 

Таблица 2.4. Векторное произведение

Наименование Обозначение, формула
  Определение векторного произведения двух векторов a´b = c, |c| = |a|×|b| sin j, j =Ð(a,b), c ^ a, c ^ b (a, b, c) - правая тройка векторов
  Таблица векторного умножения в декартовых координатах ´ i j k  
i o k -j
j -k o i
k j -i o
  Векторное произведение в декартовых координатах  
Свойства: 1) антипереместительное 2) сочетательное относительно скалярного множителя 3) распределительное a´b = - b´a l(a´b) = (la)´b = a´(lb) a´(b+c) = a´b + a´c
  Условие коллинеарности двух ненулевых векторов     a||b
Условие коллинеарности в декартовых координатах
Приложения: 1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах 2) Площадь треугольника, две стороны которого образованы данными векторами a и b   |a´b| =   |a´b| =

Обозначения:

- миноры элементов i, j, k соответственно в определителе для

векторного произведения в декартовых координатах

Таблица 2.5. Смешанное произведение

  Наименование     Обозначение, формула
  Определение и обозначение смешанного произведения трех векторов     (a´b)×c = abc  
  Смешанное произведение в декартовых координатах
Свойства: 1) изменение знака при перестановке двух сомножителей 2) не изменяется при циклической перестановке сомножителей 3) векторы a, b, c образуют в порядке следования а) правую тройку векторов, если б) левую тройку векторов, если abc = - acb = - cba = - bac abc = bca = cab abc > 0 abc < 0
  Условие компланарности трех ненулевых векторов   abc =0 a, b, c - компланарны
  Условие компланарности в декартовых координатах
Приложения: 1) Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c как на ребрах 2) Объем треугольной призмы, построенной на векторах a, b, c как на ребрах 3) Объем тетраэдра, построенного на векторах как на ребрах a, b, c |abc| |abc| |abc|